Inhomogen Linjär Ekvation

Bestäm den lösning till differentialekvationen Yprim+3Y=6 som uppfyller villkoret Y(0)=10

Vad ska man den anta att den partikulära lösningen är? a+b?

Ni får gärna lösa uppgiften om ni orkar, men är i första han ute efter ovanstående. Möjligt att jag inte kommer längre ändå.

Tack!

Den partikulära lösningen kommer att vara en konstant, k tex.

y'+3y=6

Villkor: y(0)=10

Allmänna lösningen:

y'+3y=0

y=Ce^-3x

Partikulärlösningen:

Anta att y=k

y=k

y'=0

3y=6

y=2

Dessa två ger differentialekvtionen nedan.

y=y(allmän)+y(partikulär)=Ce^-3x + 2

y(0)=10

10=Ce^-3*0 + 2 <=> C=10-2=8

Lösningen:

y=8e^-3x + 2

Menar du inte ax+b? Det funkar.

Tack!

Har ni lust får ni gärna bidra med en till.

Bestäm den lösning till differentialekvationen dy/dx+3y=e^x
(Ovanstående är samma som y'+3y=e^x (?))
som uppfyller villkoret y(0)=1

Ska man anta att partikulär är ae^x?

Det är en bra ansats. Och det är samma som y' + 3y = e^x. Med ansatsen y = ae^x så är y' = ae^x och man får ae^x + 3ae^x = e^x, men ae^x + 3ae^x = e^x*(a+3a) = 4ae^x så a = 1/4.

Det är inte alltid så lätt att hitta en partikulärlösning, men man kan alltid prova en ansats och se om den är fruktsam. Ofta är en ansats som liknar högerled bra.

multiplicera med e^(3x)

e^(3x) * (y'+3y)=e^(4x)

märk att

e^(3x) * (y'+3y) = d/dx (y*e^(3x))

om vi integrerar får vi

y*e^(3x) = (e^(4x) / 4) + C
y=(1/4)e^(x) + Ce^(-3x)

1=y(0)=1/4 + C
C=3/4

I det här fallet är det kanske inte den bästa metoden, men det är väldigt användbart att vara bekväm med i många fall.

Här kan du läsa om metoden.