Optimering på icke-kompakta områden

Hej

Skulle behöva lite hjälp med att lösa följande uppgift:

Bestäm största och minsta värdet av funktionen = f(x,y)=xy^2 e^(-xy) i området 0≤x≤2 0≤y≤b där b>1.

Har fått för mig att den generella metoden för att lösa den här typen av uppgift är att första bestämma funktionsvärdet av stationära punkter. Sen titta på funktionsvärdena för randen och tillslut titta på vilka värden f(x.y) antar "långt borta".

Mvh

Sontic

Det är precis som i en dimension. Undersöka stationära punkter och randen. Ibland kan det finnas anledning att byta till planpolära koordinater. Kan bli lättare då.

Oj såg att du skrev icke kompakt nu. Läste kompakt. Jag har faktiskt aldrig gjort det på icke kompakta områden, hela min kurs flervarre behandlade bara kompakta.

Hmm. Ja kanske gränsvärdet då, dvs långt borta. Om du byter till planpolära så bör det ju vara samma som att kolla när r går mot oändligheten men är för osäker. Någon annan kan det säkert bättre.

Fast det där är ett kompakt område. Underförstått är nog att b är en given konstant.

Kan säga att det är ett kompakt område som f(x,y) ska optimeras på( en rektangel i xy-planet med villkoren 0≤x≤2 och 1<y≤b) ?

Om så är fallet, hur behandlar man då att linjen y=1 inte är en del av definitionsmängden för f(x,y)?

Studera lim y-> 1 f(x,y). Det kan ju hända att det gränsvärdet är större (mindre) än f(x,y) för alla inre punkter. Då saknar funktionen max (min). Kompakthet är ju egentligen bara till för att garantera existensen av max och min givet att funktionen är kontinuerlig. Till exempel f(x) = x saknar ju både max och min på (0, 1) som är begränsat men inte slutet och på (-oo, oo) som är slutet men inte begränsat. (Och naturligtvis på U_{n=0}^\infty (n, n+1/2) som varken är slutet eller begränsat.)

Jag förstår inte. Är det här en ny fråga eller samma som den gamla? Om det är samma som den gamla, så har du fått området ifråga om bakfoten. Området är definierat av

0≤x≤2 0≤y≤b där b>1

vilket inte är samma sak som

0≤x≤2 och 1<y≤b.

Att b > 1 betyder fortfarande bara bredden på området är större än 1, och har inget med huruvida området är slutet eller inte att göra.