Fråge- och uppgiftstråd om Modern Fysik

Hej!

Jag kommer att ställa frågor om både teori men även problemlösningsuppgifter i typ en månad framöver. Just nu ligger jag väldigt mycket före i mitt pluggande vilket gör att jag kan ägna i princip hela min tid åt fysik vilket jag hoppas ger bra resultat.

Lite om vad det kommer att handla om:

• Svartkroppsstrålning
• Fotoelektrisk effekt
• De Broglievåglängd
• Osäkerhetsprincipen
• Vågfunktion
• Schrödingerekvationen
• Väteatomen
• Pauliprincipen
• NMR
• Bindningsenergi
• Radioaktivitet

Som jag har fattat det som verkar i princip allting handla om att inte se fysiken med klassiska ögon utan det är en introduktion till kvantmekaniken.

Hoppas det är många som tittar in i tråden och hjälper till. Jag vore oerhört tacksam för all hjälp jag kan få.

P.S. Var gärna oerhört kritisk och rätta mig så mycket som möjligt så att jag lär mig så mycket som möjligt. Beröm mig gärna också om ni känner för det (om jag förtjänar det!).

Mvh BengtZz

Detta finns beskrivet annars i Serways Principles of Physics kapitel 28.

I boken beskrivs ψ(x) som sannolikhetsamplituden (finns ett annat svenskt namn?). Vi studerar en partikel i det endimensionella fallet som studsar fram och tillbaka i en låda. Det finns två randvillkor, det ena är att ψ(0) = 0 och att ψ(L) = 0, om L är längden av den endimensionella lådan. Detta eftersom att väggarna är icke genomträngliga, då kan partikeln alltså inte befinna sig där.

Då ansattes en elementär funktion

ψ(x) = A·sin(2πx/λ)

Denna funktion uppfyller ju våra randvillkor om och endast om

2πx/λ = nπ (1)

Där n är ett heltal. Det har man ju lärt sig från matematiken. Men varför i all fridens namn är inte n = 0 tillåtet? De skriver bara att n = 1,2,... är tillåtna.

Jag ser nedan att de skriver

λ = 2L/n

Vilket man får om man löser ut lambda från ekvation (1). Men då får ju som sagt inte n vara varken 0 eller negativt, eftersom vi inte kan tala om negativa våglängder eller dividera med 0. Men vad är det som säger att våglängden inte kan vara 0 då? Om våglängden är 0 så är ju n = 0 den också och vi kan ju då ha ett kvanttal (heter det kvanttal?) där n = 0, således tillåts också energinivån att vara 0. Men detta måste ju vara fel någonjstans.

Som jag ser det nu så säger vi alltså att våglängden inte får vara 0. Och allt detta förstår jag, men som jag ser det så säger man att n = 0 för att sedan dividera med n och förlora den lösningen. Sedan säger man att kvanttal(??)et inte kan vara 0.

Vad är det jag missuppfattar?

Om n = 0 skulle vågfunktionen vara A*sin(0*x) = 0 för alla x. Men \int |\psi|^2 dx = 1 för att få en normaliserad vågfunktion, det går inte för nollfunktionen. Partikeln måste vara någonstans.

Ahh nice. De kunde ju sagt detta kan man tycka, eller i alla fall sagt att "Partikeln måste vara någonstans, därför så är..."

Okey awesome. Tack

Sen ska det naturligtvis vara \int |\psi|^2 dx = 1, slarvfel av mig. Att man inte använder negativa n har nog mer att göra med att man inte får några nya lösningar av det. Vi har ju att sin(-nx) = -sin(nx), så negativa n ger inga nya (linjärt oberoende) lösningar.

Visste vad du menade i alla fall. Dock undrar jag lite om varför man tar beloppet i kvadrat? De snackar också om psi-konjugat multiplicerat med psi. Varför är det just denna som är täthetsfunktionen? Hur vet man det?

Jag tänkte annars att:

2πx/λ = nπ

om n är negativt så måste λ vara negativt, eftersom x är positivt per definition. Men λ kan inte vara negativt eftersom vi har bestämt att längder inte kan vara negativa.

Det svaret kräver lite abstrakta begrepp. Man tar väl inte upp det i en inledande kurs, men kvantmekaniken är formulerad i termer av hilbertrum, alltså vektorrum med inre produkt som är fullständiga (vilket innebär att man kan ta gränsvärden i rummet). Om man då talar om partiklar i rummet bör vektorerna vara funktioner av rummet. Det enklaste hilbertrummet med funktioner f : R^n -> C är L^2: {f : \int |f|^2 dx < oo } med inre produkt (f, g) = \int f g* dx där * är konjugatet. Tillhörande norm ges av ||f||^2 = \int ff* dx = \int |f|^2 dx. Man kan visa att den så kallade p-normen

||f||^p = \int |f|^p dx

bara kan tillhöra ett hilbertrum om p = 2. Så att integrera kvadraten av beloppet är i någon mening det enda sätt att mäta storleken på en funktion som ger den matematiska struktur man vill ha. (Det finns säkert någon mer komplicerad inre produkt men det känns väl lite onaturligt...)

Varför är |\psi|^2 täthetsfunktionen? Jo om O är en observerbar storhet (operator) med egenvektor o_1 motsvarande egenvärdet a_1 menar vi att sannolikheten att observera a_1 givet ett tillstånd \psi ges av projektionen på o_1: P(a_1) = |(o_1,\psi)|^2 (\psi och o_1 antas normerade). Egentillstånden för positionsoperatorn x är Dirac-delta, o_x' = \delta(x-x') som har egenskapen att

\int \psi(x) \delta(x-x') dx = \psi(x')

så sannolikheten P(x') = |\psi(x')|^2.

Det är ju sant att en våglängd alltid är positiv. I det här fallet har man ju inte egentillstånd för rörelsemängdsoperatorn, men när man har det brukar man använda vågvektorer (k_1, k_2, k_3) där talen får vara negativa.

Till synes enkel uppgift men jag kommer verkligen inte vidare eller så har facit fel.

Om fotoelektriska effekten:
När ljus med våglängden 546.1nm träffar en yta och vi har en stoppningspotential på 0.376V vilket gör att fotonströmmen är 0.

Vad är utträdesarbetet för denna metall?

Det är väl bara att lösa ekvationen nedan med avseende på W?

hf = K+W

Om inte annat så blir det i alla fall helt galet fel enligt facit.

Om negativa våglängder:

Ett annat sätt att se på det att en naturlig bas att jobba med är

Bas A: φ_n(x) = e^(2πinx/L) n ∈ Z.

Dessa bildar alltså en bas till Hilbertrummet av alla (L²-)funktioner på intervallet [0, L]. Här får n alltså vara negativt.

Vi kan ta fram en annan bas, nämligen:

Bas B:
ψ_n(x) = sin(2πnx/L) n = 1, 2, 3, ...
χ_n(x) = cos(2πnx/L) n = 0, 1, 2, 3, ...

Med linjärkombinationer av dessa så kan vi bilda alla element i bas A, även de för negativa n. T.ex. är e^(-2πinx/L) = cos(2πnx/L) - i sin(2πinx/L). Å andra sidan så kan man även få alla element i B genom linjärkombinationer av element i A. Så baserna A och B spänner upp samma rum.

Det som har skett är alltså att vi har bytt bas på ett sådant sätt att de negativa n:en inte behövs, men till priset av att vi måste introducera en massa cos-funktioner också. I problemet här så förbjuds dock cos-funktionerna av randvillkoren, och därför så ser vi bara "hälften" av de ursprungliga dimensionerna.

Jag hänger faktiskt med rätt bra, men dock vet jag inte vad ett Hilbertrum är och varför vi skall använda det. Det känns som ett axiom att vi måste använda ett Hilbertrum. Jag vet inte riktigt vad ett produktrum är heller så vi kanske skall skita i det.

Jag känner bara att jag fattar absolut inte hur man vet att täthetsfunktionen är just |ψ|² Och sedan säger man att ψ·ψ* det förstår jag inte heller, men det kanske har med Hilbertrum att göra?

Inkommande energi är hf och när all fotonenergi lämnas till elektronen "går detta åt" till utträdesarbetet och den kinetiska energin som då blir maximal och är lika med energipotentialen mellan plattorna. Jag får W = hc/lambda - eV = 1.9 eV. Det låter visserligen ganska lågt.

Jag får också 1.89 nu. Vad jag dock har svårt att förstå tecknet på K_max.

De gör ett resonemang om energiprincipen i boken och kommer alltså fram till att

Kf+Uf = Ki+Ui ⇔
0+(-e)(-ΔV) = K_max+0

Alltså är

K_max = eΔV

Där ΔV är stoppningspotentialen och där e är beloppet av elementarladdningen.

Sedan har vi ekvationen:

K_max+φ = hf

Vi vill ju få tag på φ eftersom det är utträdesarbetet, eller hur man nu kallar det på svenska. Då måste vi ju ta hf-K_max.

Nej fan NVM. Jag kom på, det skall ju vara negativt när man har subtraherat, missade att båda minustecknena tog ut varandra först.

Jag hade alltså svårt att avgöra:

φ = hf±K_max

Hur som helst...
Förresten, hur ser man på en negativ potentialskillnad? Hur tolkar man en negativ potentialskillnad om uppgiften handlar om något sådant här? Vad är konventionen?