fråga angående båglängd formeln

hej, jag har lyckats räkna längden av kurvan på frågan nedan
men det som jag kan är att förklara/motivera varför formeln för båglängd gäller?

denna L= ∫ √(1+y`²)


så ser frågan ut
Bestäm längden av kurvan
y = x2 - ln x mellan punkterna (1,1 ) och (e, e2 -1/8)
Tips: Använd fomel för båglängd. Uttrycket under rottecknet är en jämn kvadrat.
Motivera noggrant varför formeln för båglängd gäller.

Dela upp kurvan i korta linjära segment. Antag att det i:e segmentet går mellan punkten (x_i,f(x_i)) och (x_i+Δx_i, f(x_i+Δx_i)). Längden av detta segment ges av Pythagoras sats

s_i = √(Δx_i² + (f(x_i+Δx_i) -f(x_i))²) = Δx_i√(1 + ((f(x_i+Δx_i) -f(x_i))/Δx_i)²).

Summerar vi över alla sådana segment får vi en uppskattning av båglängden

s ≈ ∑s_i = ∑√(1 + ((f(x_i+Δx_i) -f(x_i))/Δx_i)²)Δx_i

och låter ni nu alla Δx_i → 0 så går summan mot en integral (mellan ändpunkterna) och

(f(x_i+Δx_i) -f(x_i))/Δx_i → f'(x_i)

så att du får

s = ∫√(1 + f'(x)²)dx

Inte helt stringent men det är idén i alla fall.

Man kan tänka sig att man delar upp bågen i många jättesmå delar. Fokusera på en sådan del. Antag att den sträcker sig en sträcka Δx i x-led, och en sträcka Δy i y-led. Dess längd är då

sqrt((Δx)^2 + (Δy)^2) = sqrt(1 + (Δy/Δx)^2) Δx.

Totala längden av bågen fås då genom att summera över alla såna här små delar:

L = Σ sqrt(1 + (Δy/Δx)^2)Δx.

Om bågarna blir mindre och mindre, och man tar gränsvärdet, så blir summan en integral, Δx blir dx och Δy blir dy, och man får

L = ∫sqrt(1+(dy/dx)²)dx.

Detta är inte rigoröst, men borde ge lite motivation till varför formeln ser ut som den gör.