Matematik- och fysikprovet

Jag håller på att öva på mattematik och fysikprovet och har kört fast på två uppgifter på 2011 års matteprov.

Uppgift 22:
Ange det största reella tal a sådant att alla lösningar till ekvationen

3x^2 + ax - (a^2 -1) = 0

är reella och positiva.


Uppgift 27:

Givet är av 0<a<(pi/2) och 0<b<(pi/2) och att tana=2 och tanb=3. Beräkna vinkeln a+b och ange dess värde i radianer.

Kan någon hjälpa mig lösa dessa uppgifter?

Klurar fortfarande på uppgift 22, återkommer kanske.

På uppgift 27 kan du först skriva a=arctan2 och b=arctan3. Då blir a+b=arctan2+arctan3.

Gör sedan om arctan2 och arctan3 till komplexa tal på polär form och multiplicera ihop dem. Utifrån det kan du få ut vinkeladditionen.

Tack för hjälpen! Hade helt glömt bort att man kunde räkna med komplexa tal.

Och jag lyckades lista ut 22 på egen hand efter mycket om och men, så den behöver jag inte hjälp med längre

Hej! Jag skulle jätte gärna vilja veta hur du löste 22:an. Har fastnat på den och lyckas ej lösa den.

Tycker inte man behöver krånga till 27:an med komplexa tal.

Jag löste den såhär:

tan(a) = 2 <=> sin(a) = 2cos(a) och tan(b) = 3 <=> sin(b) = 3cos(b).

Sen kan vi lösa ut sin(a), cos(a), sin(b) och cos(b) genom att använda oss av likheterna ovan och sätta in dessa i trigonometriska ettan:

sin^2(a) + cos^2(a) = 1 men sin(a) = 2cos(a) så (2cos(a))^2 + cos^2(a) = 1 <=> 5cos^2(a) = 1 => cos(a) = 1/sqrt(5).

Sen löser man ut sin(a), sin(b) och cos(b) på samma sätt.
Utveckla sen cos(a + b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b). Vi får då att cos(a+b) = -1/sqrt(2) och detta kombinerat med det faktum att a och b ligger i första kvadranten och därför kan a+b endast ligga i första och andra kvadranten och lite kunskap om trigonometriska standardvärden ger att det entydiga svaret är 3pi/4.

Orkar inte riktigt skriva ut massor av beräkningar men jag tyckte att uppgiften var ganska straightforward. Kvadratkomplettera, titta lite under rot-tecknet och se till att det är >= 0 och anpassa sakerna utanför så att båda lösningarna till ekvationen blir positiva.

Någon som har koll på om matematik- och fysikprovet är vad det låter som, ett och samma prov, eller om det går att göra båda delarna separat?

Är inte säker på att jag förstår din fråga men provet består av två delar, ett fysikprov och ett matematikprov. Du skriver båda vid samma dag med en rast mellan proven.

Sista anmälningsdag är förresten imorgon tror jag så om du vill anmäla dig bör du göra det snarast!

Ok, nej det var rätt. Undrade om det var ett enda prov eller två olika.

"anpassa sakerna utanför" hur då?? =\ har suttit med denna uppgift i evigheter men kommer ingenstans. Jag kan uttrycka x mha a men sen då?

3x^2 + ax - (a^2 -1) = 0

Samband mellan rötter och koefficienter för andragradsfunktionen x^2+px+q=0 ger
att -p=(x_1+x_2) samt q=x_1*x_2. Summan av rötterna till våran ekvation blir alltså -a/3 vilket innebär att a<0 om båda lösningarna skall vara positiva.

Produkten av rötterna ger: 1-a^2>0 ---> abs(a)<1. abs=absolutbeloppet. För att rötterna skall vara reella så undersöker vi ekvationens diskriminant D. Denna måste vara icke-negativ för att villkoret skall hålla. Från detta erhåller vi D = 13a^2-12≥ 0 vilket ger oss att
abs(a)≥ ((12)/(13))^(1/2).

Genom att kombinera dessa villkor får vi att: -1<a≤- ((12)/(13))^(1/2).

Största reella tal a är alltså -((12)/(13))^(1/2).

Oj, jag såg nyss att joonc löste denna i en annan tråd.

Denna uppgift löser man enklast med additionsvinkeln för tangens: tan(a+b) = (tana+tanb)/(1-tana*tanb). Alltså:

tan(a+b)=(2+3)/(1-6)= -1. Arctan(-1) = 3pi/4 med villkoren ovan.