Planeters position - Gravitation

Nej, men om vi använder samma ord för alla objekt så betyder de ju inte längre någonting.

Jag kallar dem ytor när de har två dimensioner. Som i fallet |x|=1 i R³. Över det kallar jag dem inte vid namn, om du förstår.

Varför är |x|=1 i R^4 inte en volym?
Ptja, här har vi nog nått vägs ände.

Då kan vi ju skippa att tala om bollar också eftersom det tydligen inte betyder något? B(0,1) är ju väldigt olika saker i säg L^2 och R^n. Om man har en mängd U \subset R^n och vill göra en integral över U till en integral över randen av U (partiell integration / Greens formler), är det inte naturligt att säga att man ersätter en volymsintegral med en ytintegral? Ja man ser det formulerat i R^3 i flervariabelanalyskursen men att begränsa sig till 3 dimensioner är tråkigt. Det är ju egentligen ingen skillnad på R^n och R^m, allting fungerar likadant. (Okej vissa formler i R^3 involverar kryssprodukten men formulerar man om dem med "wedge product" är det helt allmänt.)
Det är ju väldigt klumpigt, vad är det för poäng med det?
Dess 4-dimensionella Lebesguemått är 0, så mängdens volym är noll.

Jag anser helt klart att det finns en poäng. Jämför kvadrat, kub, tesserakt och hyperkub.

Nu har vi egentligen flyttat oss utanför mitt kompetensområde, men är det inte så att dess 3-dimensionella Lebesguemått är nollskilt? Hur motiverar du att ta ett 4-dimensionellt mått på ett 3-dimensionellt objekt?

Visst menar du kub, kub, kub och kub? Vi kan ju definiera alla de objekten som Q(x, a) = {x : |x_i-y_i| <= a/2 för alla i = 1, ..., n}. Definitionen funkar i alla R^n så varför krångla till det med att hitta på olika namn för olika n? (Sen att man inte säger kub om en kub i två dimensioner utan kallar den kvadrat är en annan sak...)
|x| = 1 är en delmängd av R^4, således kan vi ta det 4-dimensionella Lebesguemåttet (i alla fall det yttre, men |.| är en mätbar funktion så dess nivåytor [] är mätbara). Däremot kan vi avbilda |x| = 1 på en delmängd av R^3 som har ett mått > 0 och med lämplig avbildning kan vi definiera arean av |x| = 1 som måttet av den mängden. Vi kan inte hitta en liknande avbildning till någon delmängd av R^2 eller R^1, så därför säger vi att |x| = 1 är 3-dimensionellt.

Och slutsatsen är?

Att det bara är en modell som inte stämmer, men som kan hjälpa en att visualisera vad som händer. Eftersom modellen inte stämmer i någon exakt bemärkelse så är det meningslöst att försöka hitta en formel för "y-värdet" som gör att modellen stämmer.