Påskövning (trigonometriskt samband)

En liten påskövning...

Visa sambandet sin(x)^4 + cos(x)^4 = (3 + cos(4x))/4 på så många olika sätt som möjligt.

Finns säkert fler.

Konkretisera gärna, dvs visa de aktuella beräkningarna.

Trevligt initiativ! Jag visar med Eulers formler:

sin^4(x) = ( (e^(ix) - e^(-ix))/2i )^4

(utveckla m.h.a binomialsatsen)

= 1/16 (e^(4ix) - 4e^(3ix)e^(-ix) + 6e^(2ix)e^(-2ix) - 4e^(ix)e^(-3ix) + e^(-4ix))

= 1/16 (e^(4ix) + e^(-4ix) - 4(e^(2ix) + e^(-2ix)) + 6)

= 1/16((e^(4ix) + e^(-4ix)) - 1/4(e^(2ix) + e^(-2ix)) + 3/8

= cos(4x)/8 - cos(2x)/2 + 3/8

För cos^4(x) får vi

cos^4(x) = ( (e^(ix) + e^(-ix))/2 )^4

= 1/16 (e^(4ix) + 4e^(3ix)e^(-ix) + 6e^(2ix)e^(-2ix) + 4e^(ix)e^(-2ix) + e^(-2ix))

= 1/16 (e^(4ix) + e^(-4ix) + 4(e^(2ix) + e^(-2ix)) + 6)

= 1/16((e^(4ix) + e^(-4ix)) + 1/4(e^(2ix) + e^(-2ix)) + 3/8

= cos(4x)/8 + cos(2x)/2 + 3/8

Adderar vi dessa får vi

sin^4(x) + cos^4(x) = cos(4x)/8 - cos(2x)/2 + 3/8 + cos(4x)/8 + cos(2x)/2 + 3/8

= (cos(4x) + 3)/4

Jag gör ett knackigt försök:

(1) sin^4(x)+cos^4(x) = (3+cos(4x))/4

Additionsformeln för cosinus: cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny ger oss

cos(2x+2x)=cos(2x)cos(2x)-sin(2x)sin(2x) =

(cos^2(x)-sin^2(x))(cos^2(x)-sin^2(x))-(2sin(x)cos(x))(2sin(x)cos(x)) =

(cos^4(x)-2cos^2(x)sin^2(x))+sin^4(x)-(4sin^2(x)cos^2(x)) =

cos^4(x)+sin^4(x)-6sin^2(x)cos^2(x).

Från (1) får vi att:

4sin^2(x)+4cos^4(x)= 3+cos^4(x)+sin^4(x)-6sin^2(x)cos^2(x)

Subtrahera cos(x) och sin(x) från HL och dividera med 3 så får vi:

sin^4(x)+cos^4(x)=1-2sin^2(x)cos^2(x).

Notera att
(sin^2(x)+cos^2(x))(sin^2(x)+cos^2(x))= 1 = sin^4(x)+cos^4(x)+2sin^2(x)cos^2(x)

och därför är 1-2sin^2(x)cos^2(x) = sin^4(x)+cos^4(x).

Lägger in ytterligare en lösning själv.

Sätt f(x) = sin(x)^4 + cos(x)^4.

Då blir f´(x) = 4 sin(x)^3 cos(x) + 4 cos(x)^3 (-sin(x))
= 4 sin(x) cos(x) (sin(x)^2 - cos(x)^2)
= 2 sin(2x) (-cos(2x)) = -sin(4x)

Alltså gäller f(x) = C + (1/4) cos(4x) för någon konstant C.

Vi sätter in x = 0, vilket ger dels f(0) = sin(0)^4 + cos(0)^4 = 1, dels f(0) = C + 1/4. För att dessa skall bli lika måste vi ha C = 3/4.

Alltså, sin(x)^4 + cos(x)^4 = 3/4 + (1/4) cos(4x).

Liknande Sparkpluggs men trigettan känns ju inte så konstig. Notera att

1 = sin(x)^2 + cos(x)^2 =>
1^2 = (sin(x)^2 + cos(x)^2)^2 = sin(x)^4 + cos(x)^4 + 2sin(x)^2cos(x)^2

=> sin(x)^4 + cos(x)^4 = 1 - 2sin(x)^2cos(x)^2

Notera nu att sin(x)^2cos(x)^2 = (sin(x)cos(x))^2 = (sin(2x)/2)^2

=> sin(x)^4 + cos(x)^4 = 1 - sin(2x)^2/2

Använd nu att cos(4x) = sin(2x)^2 - cos(2x)^2 = 2sin(2x)^2 - 1 => sin(2x)^2 = (cos(4x) + 1)/2

=> sin(x)^4 + cos(x)^4 = 1 - (1/2)*(cos(4x) + 1)/2
= 3/4 - cos(4x)/4

Edit: Nyvaken så det blev fel på slutet.

1 - sin(2x)^2/2

Notera nu att cos(4x) = cos(2x)^2 - sin(2x)^2 = (1 - sin(2x)^2) - sin(2x)^2 = 1 - 2sin(2x)^2 => sin(2x)^2 = (1 - cos(4x))/2

=> 1 - (1/2)*(1 - cos(4x))/2
= 3/4 + cos(4x)/4

Kort skrivet:
sin(x)^4 + cos(x)^4 = (sin(x)^2 + cos(x)^2)^2 - 2 sin(x)^2 cos(x)^2
= 1 - (1/2) sin(2x)^2 = 1 - (1/4) (1 - cos(4x)) = 3/4 + (1/4) cos(4x)

Geometriskt hade varit fett.

sin^4 x + cos^4 x =(sin^2 x + cos^2 x)^2-2(sin^2 x)(cos^2 x) =1-(sin^2 2x)/2

(3+cos 4x)/4=(3+(1 - 2sin^2 2x))/4 = 1-(sin^2 2x)/2