Kinetik problem

Hur frilägger man den här:

Ett cementrör ligger på ett lastbilsflak. För att hindra röret från att rulla när bilen bromsar lägger man en planka framför röret. Rörets ytterradie är R, och plankans tjocklek är 1/5 av R. Hur lång blir den kortast möjliga bromssträckan för lastbilen om röret inte ska röra sig. Lastbilens hastighet före inbromsningen är 20 m/s. Plankans massa kan försummas, och friktionskoefficienten mellan plankan och flaket är så stor att plankan inte kan glida.

Tack på förhand.

Se bilden för referens.

http://i42.tinypic.com/1il7ur.png

Jag tänker mig att bilen decelererar med konstant acceleration så att vi har ma = Fx där Fx är den resulterande kraften i x-led. Kraften på cylindern från plankan är riktad i normalens riktning, alltså in mot centrum. Dess horisontella komposant är x och dess vertikala är y. Tanken är nu att kunskap om Fx ger oss Fy och när Fy blir för stor kommer normalkraften att bli noll och då lättar röret från marken. När det väl börjar slutar inte processen eftersom Fy bara blir större.

Rörelsens acceleration:

0 = v - at
s = vt - (1/2)at^2

Resulterande acceleration a i horisontell ledd ges av

ma = Fx

och komposantuppdelningen ger

tan(v) = Fy/Fx

så att

Fy = Fx*tan(v) = matan(v)

Kraftbalans i y-led ger

N + Fy = mg

Röret hindras att lyfta om N > 0

mg > Fy

eller

mg > matan(v)

så

a < g/(tan(v))

är villkoret för accelerationen. Hur beror vinkeln på plankans höjd? Trigonometri ger

sin(v) = (R-R/5)/R = 4/5

vilket ger

tan(v) = sin(v)/cos(v) = sin(v)/sqrt(1 - sin^2(v)) = (4/5)/sqrt(1 - 16/25) = (4/5)/sqrt(9/25) = (4/5)/(3/5) = (4/3).

Alltså

a < g/(4/3) = 3g/4.

Insättning ger sedan t vilket ger s.

Det här är min idé i alla fall. Frågan är hur noggrann man måste vara med vad som händer när cylindern lättar. Då kommer den ju börja röra sig i x-led. Intressant dynamikproblem.

Man får nog förutsätta att samma accelertation bibehålls och därmed slipper man ytterligare problem.

Man kan ju skoja till det och betrakta det som ett dynamikproblem. Betrakta farten på rörets masscentrum. Dels har vi fartkomponenten som härrör från bilens rörelse

v1x = -(v0 - at)

och två fartkomponenter som kommer från rörets (eventuella) rotation kring kontaktpunkten med plankan (v är alltså vinkeln nu... lite förvirrande jag vet)

v2x = -Rsin(v)(dv/dt)
v2y = Rcos(v)(dv/dt).

Den translationella kinetiska energin är alltså

Tt = (1/2)mv^2 = (1/2)m(R^2(dv/dt)^2 + v0^2 + a^2t^2 + 2Rv0sin(v)(dv/dt) - 2Ratsin(v)(dv/dt) - 2v0at

och den rotationella är

Tr = (1/2)mR^2(dv/dt)^2.

Den potentiella energin är

U = mgRsin(v).

Lagrangianen ges av

L = T - U = Tt + Tr - U.

Vi skapar de relevanta derivatorna

∂L/∂v = mRv0cos(v)(dv/dt) - mRatcos(v)(dv/dt) - mgRcos(v)
∂L/∂(dv/dt) = mR^2(dv/dt) + mRv0sin(v) - mRatsin(v) + (1/2)mR^2(dv/dt)
d/dt(∂L/∂(dv/dt)) = mR^2(d^2v/dt^2) + mRv0cos(v)(dv/dt) - mRasin(v) - mRatcos(v)(dv/dt) + (1/2)mR^2(d^2v/dt^2)

och rörelseekvationerna blir

d/dt(∂L/∂(dv/dt)) - ∂L/∂v = 0
(d^2v/dt^2) + (2/(3R))(gcos(v) - asin(v)) = 0.

Här kan man lösa ekvationerna men det räcker att se när klotet börjar accelerera, alltså när d^2v/dt^2 > 0 vilket fås då

asin(v) > gcos(v)

eller

a > g/tan(v)

vilket vi också fick med föregående metod.