Klurig matteuppgift i envariabelsanalys!

2012-02-26, 23:08 #1

Medlem

Reg: May 2010

Inlägg: 38

Tjoho!

Här kommer en klurig en! Kommer inte på rätsida med den ngnstans!

Hoppas ngn av er kan hjälpa mig

Ur ett klot med radien R vill man skära ut en cirkulär cylinder, hur ska detta göras om cylinderns mantelarea ska vara så stor som möjligt?

Stort tack!!=)

Citera

2012-02-26, 23:48 #2

Medlem

Reg: Feb 2005

Inlägg: 13 139

Om du betraktar en cylinder vars centrumlinje går genom sfärens centrum, och vars radie är r, kan du sätta upp ett uttryck för cylinderns mantelarea (uttryckt i R och r)?

Citera

2012-02-27, 13:36 #3

Medlem

Reg: Dec 2010

Inlägg: 45

Har samma uppgift och kommer inte någonstans heller.

Citera

2012-02-27, 13:55 #4

Medlem

Reg: Feb 2009

Inlägg: 648

Om radien är r och vi kallar vinkeln mellan centrumlinjen och linjen från centrum till cirkelbågen för cylindern för theta, kommer mantelarean kunna uttryckas som;

A(theta)=2*(r*sin(theta))^2*pi+pi*2*r*sin(theta)*2 *r*cos(theta)

Möjligt att det är något fel, men bör stämma!

Citera

2012-02-27, 14:51 #5

Medlem

Reg: Feb 2010

Inlägg: 6 404

Citat:

Ursprungligen postat av Groggann

Om radien är r och vi kallar vinkeln mellan centrumlinjen och linjen från centrum till cirkelbågen för cylindern för theta, kommer mantelarean kunna uttryckas som;

A(theta)=2*(r*sin(theta))^2*pi+pi*2*r*sin(theta)*2 *r*cos(theta)

Möjligt att det är något fel, men bör stämma!

Enl text söks cylinderns mantelarea, så skippa ändytorna (1:a termen).

Om klotets radie är R, har cylindern radien r = R sin(θ) och höjden h = 2R cos(θ).
Mantelarea:

A(θ) = 2pi r * h = 2pi Rsin(θ) * 2Rcos(θ) = 2piR²sin(2θ).

Störst area för sin(2θ) = 1: A_max = A(45º) = 2piR².

Citera

2012-02-27, 19:23 #6

Medlem

Reg: May 2010

Inlägg: 38

ja okej...

för jag har tänkt typ att man ska sätta cylindern och konens uttryck för mantelarean i ett samlat uttryck för att sedan derivera det, för att få fram ett maxvärde, och sedan sätta till noll för att få fram värdet på x och sedan sätta in det värdet i formeln för cylindern.¨

Är det rätt tänkt?

Citera

2012-02-27, 20:46 #7

Medlem

Reg: Feb 2010

Inlägg: 6 404

Citat:

Ursprungligen postat av Guyfawks

ja okej...

för jag har tänkt typ att man ska sätta cylindern och konens uttryck för mantelarean i ett samlat uttryck för att sedan derivera det, för att få fram ett maxvärde, och sedan sätta till noll för att få fram värdet på x och sedan sätta in det värdet i formeln för cylindern.

Konen? Vilken kon? Har du provat mannes recept? Figur:

Kod:

           _____
        .-'     '-. 
      .' |       /|'. 
     /   |     R/ |  \ 
    ;    |     /  |h/2; 
    |    |___ /___|_  | 
    ;    |      r |   ; 
     \   |        |h/2 
      '. |        |.' 
        '-._____.-'

Uttryck cylinderhöjden h i R och variabeln r. Teckna sedan mantelarean:

A(r) = 2pi r h(r) = ...

Derivera med avs på r. Lös ekv dA/dr = 0, etc.

Citera

2012-02-27, 21:18 #8

Medlem

Reg: May 2010

Inlägg: 38

HAHAHA jag menade självklart cylindern!

Såhär räknar jag; INGEN ANING om det är rätt såklart men...

Formeln för en halvcirkel
y=sqrt(R-x^2)

Cylinderns mantelarea = 2*pi*r*h
h=2*y r=x

Åså sätter vi in de uttrycken å får:

A(x)=2*pi*x*2*sqrt(R-x^2)

Åså deriverar vi det där för att få ett maxvärde, vilket ger:

A(x)'=(4*pi*(R-2x^2))/(sqrt(R-x^2))

Löser ut x änna, genom att sätta uttrycket = 0) och får x=sqrt(R/2)

Sätter in det i A(x) å får det till 2*pi*R

Är det rätt? =D

Citera

2012-02-27, 21:41 #9

Medlem

Reg: Feb 2010

Inlägg: 6 404

Citat:

Ursprungligen postat av Guyfawks

HAHAHA jag menade självklart cylindern!

Såhär räknar jag; INGEN ANING om det är rätt såklart men...

Formeln för en halvcirkel
y=sqrt(R-x^2)

?? Pythagoras sats! y = sqrt(R^2-x^2).

Citat:

Cylinderns mantelarea = 2*pi*r*h
h=2*y r=x

Åså sätter vi in de uttrycken å får:

A(x)=2*pi*x*2*sqrt(R-x^2)

sqrt(R^2-x^2)

Citat:

Åså deriverar vi det där för att få ett maxvärde, vilket ger:

A(x)'=(4*pi*(R-2x^2))/(sqrt(R-x^2))

Löser ut x änna, genom att sätta uttrycket = 0) och får x=sqrt(R/2)

Sätter in det i A(x) å får det till 2*pi*R

Är det rätt? =D

A_max = 2pi R^2
- följdfel, men det är viktigt att du få rätt dimension i svaret!

Citera

2012-02-28, 09:25 #10

Medlem

Reg: May 2010

Inlägg: 38

Ja okej!! så det "enda" jag ska göra är att byta ut y=(R-x^2) mot y=(R^2-x^2)?
Men sedan använda samma metod?

Citera

2012-02-28, 12:44 #11

Medlem

Reg: Dec 2010

Inlägg: 45

Ja, svaret är: 2 * pi * R^2

Tog mig lite tid :P.!

__________________
Senast redigerad av SoRandom 2012-02-28 kl. 13:36.

Citera

Klurig matteuppgift i envariabelsanalys!

Stöd Flashback