Sannolikhet mellan stokastiska variabler

Anta att man har två stokastiska variabler, X och Y, som båda har kända poissonfördelningar.

Hur beräknar man då sannolikheten, p(X<Y)?

Med en s.v är det enkelt att bara integrera sannolikhetsfunktionen, men när det blir mellan två variabler så får jag inte ihop det.

du kan ju skriva om det som tex P(X<x)*P(Y>=x)

Ok, så du menar att man först räknar ut den sannolikheterna som du skriver, och sen integrerar över alla x för att få samtliga sannolikheter där X<Y?

Jag har läst runt lite och har kommit fram till att jag tror att följande omskrivning gäller
p(X<Y) <=> p(X-Y>0), där X-Y är Poisson(lambda_x - lambda_y)

Hur vet man hur man får slå ihop olika fördelningar, och vad den sammanslagna fördelningsfunktionen blir? Poisson-fördelning verkar ju vara ganska snäll, men vad gäller t.ex för normalfördelning, eller andra fördelningar. Eller ännu värre, om X och Y har olika fördelningar, är det normalapproximation av båda för att få de på samma form som gäller då?

Din metod låter ju smartare, är säker på att jag har gjort på det viset under studierna. Ska rota bland papprena så återkommer jag

Också normalfördelningen är snäll eftersom summan av två normalfördelade variabler också är normalfördelad. Men i det generella fallet med två olika typer av stokastiska variabler blir det nog värre...

P(X<Y)=P(0<Y-X)=1-P(Y-X<=0)
Y-X~Po(E(Y)-E(X))

Men i en normalfördelning så måste man ta hänsyn till standardavvikelsen också. Hur väger man in dessa?

Hur kommer man fram till att man kan göra dessa operationer, hur bevisar man det? Det känns som att det borde gå att sätta upp generellt på något sätt. Eller man kanske får göra så som neuffs skrev i sin första post?

Kan detta översättas analogt till t.ex att X*Y är Poisson (lambda_x*lambda_y)

Dennaa formeln gäller alltid (för att väntevärdet är lineärt)
E(a*X+b*Y)=a*E(X)+b*E(Y).
Således är E(Y-X)=E(1*Y+(-1)*X)=1*E(Y)+(-1)*E(X)=E(Y)-E(X)
Om vi hade sagt att Y-X=Z så hade det ju gällt att
E(Z)=E(Y)-E(X)
Z~Pois(E(Z)).

E(X*Y)=E(X)*E(Y) stämmer om X och Y är stokastiskt oberoende.

Detta går att bevisa med summation vid diskreta variabler och integraler vid kontinuerliga.

Det här stämmer inte. Poisson-fördelningen är inte ens väldefinierad för negativa argument, så om lambda_y > lambda_x så är det uppenbart att det här inte kan vara sant.

För att räkna ut P(X < Y) kan man helt enkelt summera över alla gynnsamma utfall:

[; P(X < Y) = \sum_{y = 0}^\infty \sum_{x = 0}^{y-1} P(X = x, Y = y);]

Om man tänker efter så täcker dubbelsumman precis alla par (x, y) av icke-negativa heltal där x < y.

Om X och Y dessutom är oberoende, så gäller att

[; P(X = x, Y = y) = P(X = x)P(Y = y) = \frac{\lambda_X^x\lambda_Y^y}{x!y!}e^{-\lambda_X - \lambda_Y}\text. ;]

Jag tror dock att den resulterande summan är ganska svår att beräkna exakt.

Men fallet med negativa tal är enkelt att komma runt. Om man ser till att X-Y inte är negativt, kan man göra den uträkning som neuffs och freddy7 har diskuterat kring då?

Om väntevärdena för både X och Y är kända så vet man om lambda_x-lambda_y är positivt eller negativt. Om det skulle råka bli negativt så är det bara att räkna på komplementet och ta 1-p(Y-X>0) ?

Nej, för differensen av oberoende Poisson-variabler är i allmänhet inte Poisson-fördelad.


Okej. Ett annat sätt att se varför den uträkningen är helt orimlig:

Antag istället att vi har lambda_X < lambda_Y, och vill beräkna sannolikheten att X > Y. Detta är samma sak som sannolikheten att Y - X < 0. Med (det felaktiga) resonemanget som framförts så skulle

Y - X ~ Poi(lambda_Y - lambda_X)

Men detta betyder att Y - X < 0 med sannolikhet 0, ty en Poisson-variabler är alltid icke-negativ. Detta skulle alltså ge svaret att X > Y har sannolikhet 0, vilket är uppenbart ett felaktigt svar.