mekanik - moment

Hej!
Jag har fastnat i en uppgift och förstår inte alls hur jag skall göra. Det är när jag ställer upp momenten (Euler 2) som jag får problem.

http://forumbilder.se/show.aspx?iid=c72201260720P7323

Det är en ring som kan rulla på marken och har massan m1, radien R och masscentrum G1. I ringen finns en halvcirkelskiva som kan röra sig friktionsfritt mot ringen och har massan m2, radien R och masscentrum G2. Till sist finns en stång ledat fastsatt i masscentrum G2 i cirkelskivan, och har massan m3 och längden l.

Uppgiften går ut på att ställa upp de styrande differentialekvationerna, alltså x'', theta'' och phi'' och en kinematisk analys har jag redan gjort.

Det jag har problem med är alltså att ställa upp momenten. Jag börjar med momentet för stången runt masscentrum G2 och får:
-m3*g*l/2 sin(phi) = I_G3 *phi'' + (-l/2 sin(phi) x^ + l/2 cos(phi) y^) x (-m3 g y^) <=>
<=> phi'' = -m3*g*l*sin(phi) / I_G3

Sedan vill jag ställa upp momenten för de andra två. För hela systemet väljer jag att ställa upp momentet runt ringens momentanpunkt, alltså den punkt som är i kontakt med marken. Det är här jag blir osäker på hur jag fortsätter. Ett tips i uppgiften var att ställa upp momenten i termer av r_G2G3, r_G1G2, a_G3 etc, för tydligen är termerna i ekvationerna för en och två kroppar förekommande i ekvationerna för två respektive tre kroppar, vilket underlättar beräkningarna.

Tack så mycket på förhand för hjälp! All hjälp är uppskattad!

Ingen som orkar hjälpa mig? Jag vill egentligen inte ha ett svar, utan bara lite hjälp med de tre (eller nja, två, en har jag gjort själv) ekvationer som jag skall ställa upp...

Tror det snarare är så att det är så få som kan. mekanik kan vara hur jävla enkelt, eller hur svårt som helst.

Jag har svårt att se hur du får ekvationen nedan:
Leden G2 i stångänden ju rörlig, så du lär få med x"-, θ' och θ"-termer i en korrekt ekvation. Om du i stället tillämpar momentekvationen kring G3 (masscentrum för stången) är det lättare att ställa upp en giltig rörelseekvation för stången:

(L/2) * F⊥ = I_G3 (θ"+φ"),

där F⊥ är den komponent av lagerkraften i G2 som är vinkelrät mot stången. Uttrycket på F⊥ beror i sin tur på den halvcirkulära skivans rörelse. Vidare är stångens vinkelacc θ"+φ", den mäts ju relativt en fix riktning (lodlinjen gn G2).

Ingår Lagranges ekvationer i kursen? Betydligt enklare att tillämpa dessa då man har sammansatta system som ger kopplade rörelser för systemets delar - kinematiken blir enklare, dessutom slipper man "plocka isär" systemet för att frilägga delarna.

Tack så mycket för svar!

Jo, det stämmer ju så klart att jag har gjort fel även för stången (det enda jag kände mig lite säker på -_-)...

Lagrange-ekvationer ingår egentligen inte, men uppgiftsbeskrivningen nämner bara att man skall härleda ekvationerna, och inte hur. Är det simplare lär jag mig gärna

Det du ska göra, är att ställa upp Euler II på lämplig form (M_A^ext = summa (I_G_i * alpha_i + r_AG_i # m_i *a_G_i), # är kryssprodukten). Först frilägger du massa 3, momentpunkten blir G2. Sedan massa 2+3, m a p G1. Sedan massa 1+2+3, med avseende på momentpunkten M, som är hjulets kontaktpunkt med marken. Sedan subtraherar du ekvationerna så att onödiga termer försvinner.
Det grundläggande felet du gjort är du missat att phi mäts från en fix lodlinje, som sitter fast i G2. G3:s vinkelacceleration blir således endast phi''.

Jag plockade fram rörelseekvationerna med Lagrangiansk mekanik men de blev så obscent krångliga att jag misstänker att jag gjort fel. Ett exempel nedan (∂L/∂x - d/dt(∂L/∂x') = 0). De andra blev värre.

(m[2]+2m[1]+m[3])x'' + (m[2]dcos(θ)+m[3]dcos(θ)+½m[3]lcos(θ+φ))θ'' + ½m[3]lcos(θ+φ)φ'' -(m[2]dsin(θ)+m[3]dsin(θ)+½m[3]lsin(θ+φ))θ'² - ½m[3]lsin(θ+φ)φ'² - m[3]lsin(θ+φ)θ'φ' = 0.

Jag kan ju sammanfatta det jag fick. Ekvationen motsvarande ∂L/∂x - d/dt(∂L/∂x') = 0 blev alltså

(m[2]+2m[1]+m[3])x'' + (m[2]dcos(θ)+m[3]dcos(θ)+½m[3]lcos(θ+φ))θ'' + ½m[3]lcos(θ+φ)φ'' -(m[2]dsin(θ)+m[3]dsin(θ)+½m[3]lsin(θ+φ))θ'² - ½m[3]lsin(θ+φ)φ'² - m[3]lsin(θ+φ)θ'φ' = 0.

Ekvationen motsvarande ∂L/∂φ - d/dt(∂L/∂φ') = 0 blev

3cos(θ+φ)x'' + (2l+3dcos(φ))θ'' + 2lφ'' +3dsin(φ)θ'² + 3gsin(θ+φ) = 0

och den motsvarande ∂L/∂θ - d/dt(∂L/∂θ') = 0 blev

(m[2]dcos(θ)+m[3]dcos(θ)+½m[3]lcos(θ+φ))x'' + (m[2](½-16/(9π²))R²+m[3]dlcos(φ)+m[3]d²+⅓m[3]l²+m[2]d²)θ'' + (⅓m[3]l²+½m[3]dcos(φ))φ'' - ½m[3]dlsin(φ)φ'² -m[3]dlsin(φ)θ'φ' + m[2]gdsin(θ) + m[3]g(dsin(θ)+½lsin(θ+φ)) = 0

Som sagt är jag lite skeptisk.

Rätt svar är


uppställt på matrisform på formen A(x'' theta'' phi'') = b.

Oj, många svar har jag fått Jag vet inte hur jag skall tacka er!

Jag har även själv försökt lite och fått fram några ekvationer, men det verkar som att jag har gjort något fel, då min halvcirkel följde gravitationen, men min pendel föll uppåt... Det såg nästan ut lite som en omvänd pendel som reglerades till att hållas stabil

Evolute, jag skall gå igenom dina formler lite och jämföra med det jag fick Håller på att skaffa matlab här hemma nu också så att jag kan animera och se

Henkemacho, du är också Lith:are antar jag? Tack för rätt svar, det underlättar alltid om man vet vad man skall komma fram till

Jag tror det är ekvationerna jag utgår ifrån som blir fel, så här blev det:

Runt G3, pendeln:
-l/2 * (cos(φ)*Fy + sin(φ)*Fx) = I_3 φ''

Pendel + halvcirkel, runt G1:φγ
-(m2*g*d*sin(γ)-Fx*d*sin(γ)-Fy*d*cos(γ) = I_2*γ'' + I_3*φ'' + r_g2/g1 x m2a_g2 + r_g3/g1 x m3*a_g3

Hela systemet, runt M:
-(m2+m3)*g*d*sin(γ) = I_1 *x''/R + I_2*γ'' + I_3*φ'' + r_g1/m x m2a_g1 + r_g2/m x m2a_g2 + r_g3/m x m3*a_g3

Här är det jag fick (A är 3x3-matris, första kolumnen x'', andra γ'' och tredje phi'', b är högeledet):

Jag löste diffekvationen för dessa ekvationer och får ingen rimligt (om inte definitionen av vinklarna i figuren eller något annat är felaktigt). Ta exempelvis alla begynnelsevärden lika med noll. Då ska ju ingenting hända. Istället börjar halvcylindern rotera och ringen att rulla.

Du är säker på denna matris och vektor?

Jag ser nu att TS ritat vinklarna lite fel. Här är ursprungsproblemet och till det stämmer det jag skrev: http://www.mechanics.iei.liu.se/edu_...4/lab_2012.pdf