Hjälp mig med denna tankenöt!

Självklart ökar chansen att bommen är öppen när du kommer fram om du väljer att accelerera oavsett hur länge bommen är öppen respektive stängd. Och precis som du säger så tjänar du på att sänka hastigheten om den är stängd.

Om vi använder ditt tidsexempel där bommen är öppen 8 minuter och stängd 2. När du ser bommen och den är öppen kan tiden vara allt från 1 sekund till 7 minuter och 59 sekunder. Du vet alltså inte vart i tidspannet tiden är. Om du inte ökar hastigheten tar det X antal sekunder för dig att komma fram till bommen men om du ökar hastigheten tar det X minus Y sekunder för dig att komma fram. Där X är tiden du har kvar till bommen och Y är tiden du tjänar på att öka hastigheten. Ponera då att det tar 20 sekunder för dig att komma fram till bommen om du inte ökar hastighet men det är 19 sekunder kvar tills dess att bommen stängs om du då ökar hastigheten så är det 20 minus säg 3 sekunder (som du tjänar när du ökar hastigheten). Det innebär att med en ökad hastighet kommer du hinna men ej med en jämn hastighet.

Om det istället är 25 sekunder kvar till bommen stängs och du har 20 sekunder kvar med en jämn hastighet så tjänar du inget på att öka farten. Men eftersom du aldrig kan veta hur lång tid det är kvar så minskar risken för stängd bommen med ökad hastighet.

Ursäkta för luddig förklaring men jag hoppas du förstår vad jag menar.

Ett intressant faktum är ju att när du observerar något, är det 95% chans att du observerar det inom de mittersta 95 procenten av dess totala "livstid" (eller kanske snarare "nuvarande tillstånd"). Det betyder att du med 95% säkerhet kan fastställa det observerades livslängd till någonstans mellan en trettioniondel (1/39) och 39 gånger den observerade tiden.

I vårt fall betyder det att om du slänger en snabb blick på den öppna bommen längre fram - låt oss säga att detta tar 2 sekunder - så kommer den högst troligt vara öppen ytterligare mellan ca 0.05 (1/19.5 sekund) och 78 sekunder (2x39). Med andra ord; gasen i botten, nu jävlar är det bråttom om vi skall hinna över!

...men en bra bit innan vi hinner fram till överfarten hinner ytterligare 8 sekunder passera, och nu måste vi givetvis tänka om på nytt. 10 sekunder har vi nu totalt observerat den öppna bommen, vilket betyder att den högst troligt kommer vara öppen mellan drygt 1/4 sekund och 390 sekunder - lite drygt sex och en halv minut! OK, det var kanske inte riktigt så bråttom som vi trodde då.

Vi rullar vidare, nu i lite lugnare takt. Totalt hinner 30 sekunder passera och vi är nu nästan framme vid bommen, som fortfarande är öppen. 30 sekunder... det innebär att bommen med 95% sannolikhet kommer vara öppen i mellan (nästan) en sekund till hiskeliga 19 och halv minuter!

Franz-Konrad i baksätet hojtar plötsligt till att han måste springa ut och kissa, det är verkligen akut. -"Aldrig i livet! Tåget kan fortfarande komma när som helst!" ropar vi andra irriterat. "-Inte då!" svarar Franz-Konrad med en besvärad, men lurig, min och fortsätter: "Jag hinner tömma blåsan på under halvminuten, vilket innebär att det är större chans att tåget inte hinner komma än att det faktiskt gör det!". Med ens tvärnitar bilen och vi börjar alla fundera..

Det är alltså 50% chans att vi observerar den öppna bommen under de mittersta 50% av hela den tid bommen varit öppen. Med andra ord kan vi med 50% säkerhet fastställa att bommen kommer vara öppen någonstans mellan en tredjedel (1/3) och 3 gånger den observerade tiden. Om bommen varit öppen i 30 sekunder betyder det att bommen med 50% chans kommer vara öppen mellan 10 och 90 sekunder! Han har lurat oss, den jäkeln! Men Franz-Konrad ler bara när har skuttar ut bakom buskarna dryga minuten senare.

"Lyssna här nu. Nu har ytterligare 60 sekunder gått och bommen är fortfarande öppen. Det betyder att vi observerat den öppna bommen i 90 sekunder. Det innebär att bommen med 50% chans kommer vara öppen mellan 30 och 270 sekunder. Så nu stämmer faktiskt det jag sa alldeles nyss! Någon annan som behöver springa bakom busken?" Men vrede i blicken vrider föraren om startnyckeln. Men inget händer. Bilen startar inte!

I vild panik försöker vi veva igång skrothögen, men till ingen nytta. Inget tåg syns dock till och bommen står fortfarande öppen. Till slut får vi igång bilen, efter nästan en hel timmes febrilt mekande. Men då vi gör oss redo att kasta oss iväg för att äntligen komma över innan bommen går ner slår det oss en sista gång; nu har vi alltså sett bommen vara öppen i en timme. Det betyder att den med 95% sannolikhet kommer vara öppen mellan ytterligare en och en halv minut och 39 timmar. Ingen stress att hinna över alltså! Det är dessutom 50% chans att bommen kommer fortsätta vara öppen i 20 minuter till, så på en slantsingling hinner vi tillbaka till stan och köpa en varmkorv med!

Nej, det är ett logiskt felslut, för då utgår du från att man bara tittar på bommen vid en slumpmässig tid, nu sitter vi med mer information som gör att vår gissning skall justeras. Bara för att ta ett grovt exempel, jag använder dina siffror 8 min öppen, 2 min stängd. Om jag bara tittar till bommen så är det mycket riktigt 20% chans att den är stängd, men om jag tittar igen 10 sekunder senare så är det inte alls 20% chans att den är stängd. Jag måste ta hänsyn till var i cykeln jag kan befinna mig. Om jag illustrerar det hela på en tallinje från 0 - 10 minuter så är de sista 1,50 minutrarna av stängd bro inte en option. Därför måste jag jämföra 7 min och 50 sekunder (eftersom jag vet att den var öppen för 10 sekunder sen så måste jag vara minst 10 sekunder senare än när den precis öppnats) öppen bro med 10 sekunder stängd bro, vilket ger 2% chans att bron hunnit stängas på denna tid.

Därför, om jag ser bommen en bit i förväg och den är öppen så skall jag absolut accelerera för att maximera chansen att den inte hinner stängas. Om jag däremot /strikt hypotetiskt exempel) inte kunde se bommen för att det var dimma så spelar det ingen roll vilken hastighet jag kör, när jag väl är framme så är det 20% risk att den är stängd. Allt bygger på din observation av den öppna bron som skär bort möjliga tidsintervall i cykeln.

Jag ser en intressant koppling i själva lösningen med Monty Hallproblemet, där är ju medveten observation också väsentlig för lösningen fast på ett lite annat sätt.

Flera har ju svarat rätt, men jag tänkte ge en enkel matematisk förklaring.

Varje tidsenhet är det en viss sannolikhet att bommen fälls. Antag att om bommen fälls så måste du stanna. Summera alla sannolikheter -> minst tidsenheter (mest fart) vinner. Du skall alltså köra så fort som möjligt.

Det är först när bommen fälls ner och upp extremt snabbt (tåget passerar i raketfart) som detta inte gäller (sannolikheten att bommarna hinner fällas och tåget passera, bommarna fälls upp igen är lika stor eller större än att bommarna fälls).

[Fortsättning]

Sagt och gjort åkte vi iväg till korvkiosken medan Franz-Konrad stannade kvar, eller rättare sagt blev lämnad kvar. Någon måste förstås hålla koll så att bommen inte gått upp och allt gått förlorat - den kosmiska balansen får inte rubbas på ett så lättvindigt sätt! Och med sitt tidigare uppvisade "sinne för humor" hade Franz-Konrad visat sig värdig detta ärofyllda uppdrag.

Nåväl; efter ett mättande besök i korvkiosken kände vi oss alla belåtna. "En liten lur i solskenet kanske skulle sitta fint!" Och det gjorde det. Fina 4 timmar och 40 minuter. Med ett spasmiskt ryck vaknar en ur vårt sömndruckna gäng och sparkar liv i de andra. "Oj, Franz-Konrad kommer mörda oss!" .."Äh, det kan han gott ha." Men in i bilen och fort iväg innan bommen går ner!


Mycket riktigt var F-K inte på det bästa humör, men ändå förvånansvärt lugn. Han hade tydligen funderat lite till, och ytterligare lite till under tiden vi varit borta Han tog till orda:

"Jo, såhär ligger det till. När ni hade varit borta i nästan 20 minuter började jag bli riktigt orolig. 'När som helst kommer bommen gå ner och tåget komma' tänkte jag. Men tåget kom inte, och inte ni heller. Men slug som jag är räknade jag på nytt på sannolikheten att bommen skulle gå ner. Och precis som jag misstänkte var sannolikheten större att ni skulle hinna tillbaka i tid nu, än vad den var innan ni åkte!"

Franz-Konrad gjorde en dramaturgisk paus och såg på oss andra med en menande blick. "Sluta upp och se så förbannat självgod ut. Fortsätt förklara nu din usling!"

"Hahaha.. Jaja. Jo, som sagt så hade era chanser att hinna över innan bommen gått ner ökat under den tid ni hade på er att hinna tillbaka innan tiden då bommen med största sannolikhet inte skulle gått ner var ute.. Hrm, ja vad jag försöker säga är helt enkelt att om ni kommit tillbaka precis i tid, 20 minuter efter att ni åkte, så hade bommen med 95% sannolikhet var öppen mer än ytterligare 20 minuter, trots att ni innan ni åkte hade prick 20 minuter."

Frans-Konrad gjorde en triumferande gest med armarna. Men återigen hade hans förmåga att sno in sig i krångliga resonemang gjort honom oförmögen att i klarhet uttrycka vad han kommit på. Med en trött min slog han armarna längs sidorna och suckade:

"Desto längre vi väntar på att bommen skall gå ner, desto längre blir den tid vi har på oss att med till exempel 95% sannolikhet hinna över".

Nu gick ljuset upp för oss andra! Vi hade varit borta i totalt 6 timmar (inräknat tiden det tog att käka korv samt restid till och från korvkiosken), vilket innebär att bommen med 95% säkerhet inte kommer stängas förens först om över nio minuter. Vår tid att hinna över med 95% säkerhet var alltså väldigt mycket mindre precis när vi först såg bommen, och nu 6 timmar senare är det ofantligt mycket större - från drygt en tjugondels sekund till 9 minuter. En smått fantastisk ökning!

---------

Så för att svara på TS frågeställning: Minskar jag risken att bommen kommer vara stängd när jag kommer fram till korsningen genom att accelerera sista biten? Vet ej. Däremot tycks det vara så att du definitivt minskar risken genom att bromsa in helt.

Nej du tjänar inget på att gasa. Det du vinner i tid att gasa en gång förlorar du en annan. Någon gång vinner du teoretiskt så till vida du kan passera bommen med minimalt avstånd utan att få bommen på dig. Någon gång hinner du inte passera bommen utan kör in i i den.

Det mest teoretiskt logiska är att du inte anpassar körningen med hänsyn till när bommen går ner.

Det är väl klart som korvspat att du ökar risken genom att inte accelerera och tvärt som, det är väl självklart?!

Ju mindre tid du spenderar framför bommen ju mindre risk att den "faller ned".

En intressantare frågeställning kunde vara (men egentligen lika självklart svar).

"När du startar bilen hemma och vet att du kommer att befinna dig vid en bom (som är öppen/stängd under samma villkor som i ditt scenario) om 2 minuter, tjänar du på att hålla en högre medelhastighet än du "vanligtvis" gör?"

Så länge bommen är öppen en längre tid än den är stängd så tjänar du alltid på att köra så snabbt som möjligt i långa loppet.

Jag ser inte hur huruvida du accelererar eller ej påverkar sannolikheten för bommen att vara stängd.

Nu var frågan om risken ökar/minskar eller består om du accelererar.
Risken att bommen går ned minskar om du accelererar.

Gör "försöket" 1 000 000 gånger och notera utfallen och gör ett diagram så kan jag med säkerhet säga att i de fallen du accelererade så hann du över fler gånger relativt de "åk" som du inte accelererade.

Tänk dig att någon gång i framtiden går bommen ned. Då skulle det vara osannolikt att bommen går ned inom en minut eftersom det finns så många andra minuter den kan gå ned som kommer efter den första minuten.

Det är ungefär som resonemanget om att vinna en miljon på lotto. "Det är 50 procents chans, antingen vinner man eller så vinner man inte."

Stannar bommen nere längre än tiden för den accelerarade färden spelar det roll, annars inte.

Föreställ dig en klocka med 60 minuter. En viss del är bommen nere, säg 10 minuter.
Om du kan ta dig till bommen snabbare än 10 minuter tjänar du alltid på att accelerara. Säg att det tar 9 minuter medd acc. och 10 minuter utan. Då är risken att vänta med acc 9/(60-10) och utan acc 10/(60-10) .

Detta förhållande gäller ända tills tiden att ta sig till bommen med acc överstiger tiden då bommen är nere. Tar det 10 minuter med acc är risken 10/(60-10) och även om det tar 20 minuter utan acc så är risken fortfarande 10/(60-10).

Sannolikheten beräknas alltså från:
((o)gynnsamma utfall )/ (möjliga fall)
(o)Gynnsamma utfall är de utfall då du måste vänta och möjliga fall är hela tidscykeln minus tiden då bommen är nere eftersom man vet att bommen inte är nere.

Svaret är väldigt enkelt och ett flertal har redan varit inne på det.

Eftersom vi vet hur länge bommen är uppe och nere under 10 minuter så är det självklart lönsamt att köra snabbare, oavsett om bommen går ner när du är på väg fram eller ej så har du möjlighet att tjäna på att gasa på.

Se det så här:
Vänd på problemet, om du kör så snabbt det bara går och du kommer fram precis när bommen går ner så får du vänta i två minuter. Hade du istället kört i lägre hastighet så hade du inte kommit fram precis när bommen gick ner utan exempelvis precis när bommen går upp men du hade fortfarande kommit över på precis samma tid (förutom den lilla skillnaden det tar att köra över spåret eftersom du kan hålla högre hastighet över spåret om du slipper stanna) och kommer därför inte att förlora någon tid.
Hade du istället startat några sekunder tidigare så hade du hunnit precis innan bommen stängde och därför "tjänat" minst två minuter.

Med andra ord så kan du bara "förlora" på att hålla en lägre hastighet och bara "vinna" alternativt gå "break even" på att hålla en högre hastighet.

Är det däremot slumpmässig stängning av bommen så handlar det mer om sannolikhet, fast även här tjänar du på att öka farten.

Även här ett exempel:
Om du står och väntar på att bommen ska gå ner så ökar sannolikheten för att den ska gå ner ju längre tid du står där. Med andra ord, ju kortare tid du är på "fel" sida desto mindre är sannolikheten att bommen ska gå ner innan du kommer fram.