Symmetrisk 2aGradsfunktion

Hur kan man bevisa att en andragradsfunktion på formen f(x)=ax^2 + bx + c alltid är symmetrisk kring dess symmetrilinje?

Kvadratkomplettera så är det uppenbart.

Först hittar vi symmetrilinjen. För ett allmänt polynom av grad 2 är symmetrilinjen x = -b/2a.

Om den är symmetrisk kring denna linje gäller att f(-b/2a+d) är identiskt lika med f(-b/2a-d), där d är ett godtyckligt reellt tal.

Samma princip gäller för jämna funktioner, fast en jämn funktion är alltså när den är symmetrisk kring y-axeln, eller helt enkelt linjen x = 0. Och för jämna funktioner gäller ju att g(0+x) ≡ g(0-x). De är alltså identiskt lika.

f(-b/2a+d) = a(-b/2a+d)²+b(-b/2a+d)+c = -b²/4a+ad²+c

Om vi också då kollar
f(-b/2a-d) så ser vi att detta är lika med -b²/4a+ad²+c.

VSB.

Tack BengtZz, mycket tydligt som vanligt. Har aldrig fått ett bevis för det innan nämligen, lite klantigt av mig att inte testa symmetrilinjens x-värde plus/minus en konstant Mycket fiffigt!

sp3tt, hur menar du nu?

Menar du så här: f(x)= a(x^2 + bx/a + c/a) = a(x^2 + bx/a + (b/2a)^2 - (b/2a)^2 + c/a) = a((x + b/2a)^2 - (b/2a)^2 + c/a) = a((x + b/2a)^2 - (b^2)/(4a^2) + c/a) = a(x + b/2a)^2 - (b^2)/(4a) + c

Kanske inte var så du menade alls? Hur menar du att jag kommer vidare med detta? Förklara gärna

Jo det ser rätt ut. Nu ser du att funktionen är symmetrisk kring x = -b/2a eftersom det är en jämn kvadrat plus en konstant.

Smart. Affina funktioner ändrar aldrig symmetrin och vi vet att kvadratiska funktioner är jämna.

Tack Sp3tt! Hade helt glömt bort tråden