Transformera ODE till förstagradssystem

Tja!

Jag har x''(t) = x(t) - t*sin(x(t))

Så jag inför y = x' och får

y = x'
y' = x - t*sin(y)

Är detta korrekt?

Det bör väl bli

y = x'
y' = x - t*sin(x)

Man skulle väl snarare skriva det som
x' = y
y' = x - t sin(x)
så att om u = (x, y) så blir u' = f(u) där
f(x, y) = (y, x - t sin(x)).

Tack för svaren!

Jag skrev fel i OP: x''(t) = x(t) - t*sin(x'(t)) skulle det vara.

Så alltså, även fast det skiljer två ordningar i den sista ekvationen

y' = x - t*sin(y)

så är omskrivningen korrekt?

Ja, det är en standardomskrivning som alltid fungerar. (Reserverar mig för "alltid".)

Och även jag skrev litet fel.
Så här blir det förstås: u'(t) = f(t, u(t)).

Ok, tack!

Om jag vill skriva om ekvationen till ett system av första gradens autonoma ekvationer, hur gör jag då? Jag måste baka in t-beroendet i en ny variabel på något sätt?

t' = 1 borde väl funka?

Hur menar du?

Att systemet skulle se ut så här

x' = y
y' = x - t sin(x)
t' = 1

och så låter man den oberoende variabeln vara s eller något. Ekvationen för t har ju trivialt lösningen s + C där C är en konstant, så väljer man C = 0 med begynnelsevillkor blir det precis samma ekvationssystem som om t vore den oberoende variabeln.

Ok, jag tror jag är med! Tack.