Oändligt tärningsspel - sannolikhet

Två vänner spelar tärning och bestämmer sig för att fortsätta spela i oändligheten.

Person A vinner 1 poäng om det blir en 1:a på tärningen och person B vinner 1 poäng om det blir en 2-6:a på tärningen. Detta gör att oddset är 1/5 till person B's fördel. Men med tanke på att de spelar i en oändlighet så har ingen egentligen någon fördel, i och med att person A alltid kommer att komma ikapp oavsett hur dåliga oddsen är?

Jag tänker så här:
Säg ställningen är 200 - 1000 till B, om det då blir 801 ettor i rad på tärningen kommer A att ta ledningen. Och i och med att de spelar i en oändlighet kommer det att bli 801 ettor i rad oändligt många gånger, likaså 1 miljon ettor i rad, 1 miljard, biljard osv. Detta betyder att Person A alltid har en chans att komma tillbaka och i och med att de spelar i en oändlighet kommer A att ta ledningen oändligt många gånger i en oändlighet.

Tänker jag rätt? Om inte, vänligen ge en förklaring till varför jag skulle ha fel.

du måste räkna ut den matematiska chancen att få 801 ettor i rad vilket är extremt låg.

Odssen kommer alltid att vara till B´s favör, 1/5 att A ska få väldigt låg chans.

prova själv coh slå 801 ettor hemma själv och se hur lätt det är.

På samma sätt kommer 2:or, 3:or, 4:or o.s.v. att fördela sig. Det kommer fortfarande var 1/5...

Hmm. Alltså, det kommer ju inte krävas 800 kast efter ett tag, utan antalet kast han behöver för att komma ikapp kommer att växa större och större. Skulle tro att antalet kast växer fortare än den kumulativa chansen att han kommer tillbaka ifrån varje position.

Person A kommer aldrig ta ledningen

Jo kanske till en början sen kommer kurvan plana ut mot 1/5.

TS har helt fel
http://sv.wikipedia.org/wiki/Central...3%A4rdessatsen

Edit: "Enligt centrala gränsvärdessatsen gäller att om flera slumpmässiga variabler med samma sannolikhetsfördelning och med ändlig varians adderas, kommer summan att gå mot en normalfördelning."

Vad menar du med fördel? Med fördel menas vanligen att man har bättre chans att vinna, men här så tar ju spelet aldrig slut, så ingen vinner. Så vad menar du?

Ett sätt att se på det är att B vinner om differensen (B:s poäng - A:s poäng) går mot oändligheten i gränsvärdet när antalet slag går mot oändligheten, A vinner om differensen går mot minus oändligheten, och det blir oavgjort annars.

I så fall så kommer B vinna med 100% sannolikhet, så nog kan man säga att B har en fördel, vilket kan ses enligt följande:

Låt slumpvariabeln D_n vara (B:s poäng efter omgång n - A:s poäng efter omgång n)/2. Så D_(n+1) är alltså D_n + 1 om tärningen visade 2-6 vid omgång n+1, och D_n - 1 om tärningen visade 1.

Låt A_n beteckna händelsen att D_n < 0. Då kan vi explicit räkna ut att

[; P(A_n) = \sum_{i=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \binom n i \left(\frac 56\right)^i \left(\frac 16\right)^{n-i} ;]

Struntsamma egentligen. Poängen är då att vi kan begränsa denna sannolikhet uppåt, term för term:

[;P(A_n) = \sum_{i=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \binom ni \left(\frac 16\right)^n 5^i \\
\leq 5^{\lfloor n/2 \rfloor} \left(\frac 16\right)^n \sum_{i=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \binom ni \\
= 5^{\lfloor n/2 \rfloor} \left(\frac 16\right)^n 2^{n-1} \\
\sim \frac 12 \left(\frac{\sqrt 5}3\right)^n\text. ;]

Eftersom sqrt(5)/3 < 1, så följer att

[; \sum_{n=0}^\infty P(A_n) < \infty\text, ;]

och det är det som är relevant för den fortsatta diskussionen.

Låt nu B beteckna händelsen att det finns oändligt många n sådana att A_n händer. Det vill säga, att spelare A kommer ligga på plus oändligt många gånger i spelet. Genom att applicera detta enkla lemma, så får vi att P(B) = 0.

Detta visar att det med sannolikhet 1 existerar ett N så att D_n ≥ 0 för alla n ≥ N. På liknande sätt kan man visa, för godtyckligt d, att det existerar ett N så att D_n ≥ d för alla n ≥ N. Eftersom detta gäller för alla d, så följer (av definitionen av gränsvärde) att

[; P(D_n \rightarrow \infty) = 1 ;]

dvs att B vinner med sannolikhet 1.

Vi tänker så här istället:

Säg att person A försöker slå 100 ettor i rad för att ta ledningen men misslyckas på första försöket, han måste sedan försöka slå 101 ettor i rad för att ta ledningen osv.

Sannolikt kommer person B's ledning öka stadigt under en väldigt lång tid, medan person A's odds för att ta ledningen blir sämre och sämre. MEN chansen finns ALLTID där, och vad du än gångrar med oändligheten blir oändligt. Detta måste ju betyda att person A alltid kommer ikapp.

Jag menar att att den ena har fördel med oddsen. Inte för att vinna, i och med att spelet aldrig tar slut.

Det jag försöker reda ut är huruvida ledaren kommer att skifta oändligt många gånger eller inte.

Jag ska titta närmare på ditt inlägg vid ett senare tillfälle.

Fetmarkerade är där jag tror att du tänker fel. Eftersom sannolikheten blir mindre och mindre, så gångrar man ingenting med oändligheten, utan att man summerar en följd av mindre och mindre sannolikheter. Sådana summor behöver inte vara oändliga.

Om vi istället tänker oss att vi har ett annat spel, där (sannolikheten att A kommer ikapp efter n drag) är 1/3^n. I så fall kan sannolikheten att A nånsin kommer ikapp aldrig vara mer än såhär:

P(A kommer nånsin ikapp) ≤ P(A kommer ikapp efter 1 omgång) + P(A kommer ikapp efter 2 omgångar) + ...
= 1/3 + 1/3^2 + 1/3^3 + ...
= 1/2.

Så A kan omöjligen ha mer än 1/2 sannolikhet att nånsin komma ikapp, dvs det är inte sant att A alltid kommer ikapp.


Det mitt inlägg (bland annat) visar, är att ledaren med sannolikhet 1 bara kommer skifta ändligt många gånger. Faktum är, som visas, att det med sannolikhet 1 bara kommer finnas ändligt många omgångar under vilka A leder.

Väldigt bra förklarat!