Funktionalanalys: Hitta Majorant

Det var så elegant att det ska skrivas ner och sparas.

Torde dock vara överkurs för tentan ifråga.

Formeln kan användas för att bestämma primitiva funktionen till inverser utifrån primitiva funktionen till grundfunktionen.

Låt μ{f} stå för en primitiv funktion till f. Formeln ger då
μ{f^(-1)}(x) = x f^(-1)(x) - μ{f}(f^(-1)(x))

Exempel 1:
f = exp, μ{f} = exp, f^(-1) = ln
μ{ln}(x) = x ln(x) - exp(ln(x)) = x ln(x) - x

Exempel 2:
f = tan, μ{tan}(x) = -ln |cos(x)|, f^(-1) = arctan
μ{arctan}(x) = x arctan(x) - (-ln |cos(arctan(x))|)
= x arctan(x) + ln (1/√(1+tan²(arctan(x))))
= x arctan(x) - (1/2) ln (1+x²)
Jämför med http://www.wolframalpha.com/input/?i...+arctan%28x%29

∫ f^(-1)(x) dx = x f^(-1)(x) - (∫ f(t) dt){t := f^(-1)(x)}

Jag noterade att första termen är samma som man får vid partiell integrering efter införande av en faktor 1 i integranden:
∫ f^(-1)(x) dx = ∫ 1 f^(-1)(x) dx = x f^(-1)(x) - ∫ x f^(-1)'(x) dx.

Efter litet undersökning visade det sig att (∫ f(t) dt){t := f^(-1)(x)} = ∫ x f^(-1)'(x) dx:
∫ x f^(-1)'(x) dx = ∫ f(f^(-1)(x)) f^(-1)'(x) dx = ∫ (μf)'(f^(-1)(x)) f^(-1)'(x) dx
= ∫ (d/dx)(μf)(f^(-1)(x)) dx = (μf)(f^(-1)(x)) = (∫ f(t) dt){t := f^(-1)(x)}