Funktionalanalys: Hitta Majorant

Uppgiften är att beräkna gränsärdet lim{n->oändligheten} \int_0^1 f_n dt, där f_n = nt^n/(1+t^n).

Så jag försöker hitta en majorant till funktionsföljden f_n = nt^n/(1+t^n). Börjar naivt med att derivera med avseende på n och hamnar med t^n + t^(2n) + n*t^n*ln(t) i nämnaren.

EDIT: Hur hittar jag nollställen till denna? Går det på något praktiskt sätt?

Liknande: jag försöker hitta en majorant till n/(n+nt+t^3), jag deriverar med avseende på n och får t^3 i nämnaren vilket saknar nollställen. Kan jag då stoppa in randpunkterna för n för att hitta max, dvs 1 och oändligheten?
n-> oändligheten ger 1/(1+t) som ju faktiskt är en majorant till det jag hade från början. ?

EDIT: I båda uppgifterna ligger t i intervallet [0,1] och n = 1, 2, 3, ...

Wolfram alpha håller i alla fall med mig om deriveringen på första.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=d%2Fdn+{nt^n%2F%281%2Bt^n%29}

Men skulle vilja kunna fråga den om majorerande funktion som borde heta något i stil med "dominating function" men nja, hittar det inte. Någon som vet vad det kallas på engelska/i Wolfram Alpha?

Jag skulle låta bli att bara derivera naivt. Det är bättre att leka runt lite med funktionerna för att först se vad som händer. Till exempel så kan man lätt se att dina f_n uppfyller

f_n(t) ≤ nt^n

på hela intervallet [0, 1]. Alltså räcker det med att hitta en majorant till nt^n.


Vad jag förstår är en majorant bara en funktion som är större än de givna funktionerna i varje punkt. Naturligtvis finns det då flera majoranter, varför det är konstigt att fråga Wolfram Alpha om en majorant. Men du kan ju testa att be Wolfram Alpha om supremum av alla funktionerna ifråga. Detta borde ju ge den minsta majoranten.

Däremot så tror jag inte det där tänket hjälper i allmänhet. Vi vill inte ha den minsta majoranten, vill ha en majorant som är så enkel som möjligt att vi lätt kan kolla att den är integrerbar. Det är alltså bättre att lita på vår förståelse för att försöka förenkla uttrycken, snarare än derivera blint.

Vi sätter f_n(x) = nx^n/(1+x^n).

Nu gäller:
I_n ≡ ∫_0^1 f_n(x) dx = ∫_0^(n/2) (1 - f_n^(-1)(y)) dy
(Verifieras enklast grafiskt.)

Inversen är
f_n^(-1)(y) = (y/(n-y))^(1/n)
så
I_n = ∫_0^(n/2) (1 - (y/(n-y))^(1/n)) dy

Variabelbyte:
y = n s
dy = n ds
I_n = n ∫_0^(1/2) (1 - (s/(1-s))^(1/n)) ds

Variabelbyte:
t = s/(1-s)
s = t/(1+t)
ds = dt/(1+t)^2
I_n = n ∫_0^1 (1 - t^(1/n)) 1/(1+t)^2 dt

Nu gäller:
n (1 - t^(1/n)) = - (t^(1/n) - t^0) / (1/n - 0) = - (e^((ln t)/n) - e^0) / (1/n - 0) → "derivatan av e^(λ ln t) m.a.p. λ i λ = 0" = - ln t
Så
n (1 - t^(1/n)) = - ln t + O(1/n)

Alltså,
I_n = ∫_0^1 (-ln t + O(1/n)) 1/(1+t)^2 dt = - ∫_0^1 (ln t)/(1+t)^2 dt + O(1/n)

Sista integralen kan beräknas genom partialintegration, partialbråksuppdelning och gränsvärde:
∫_ε^1 (ln t)/(1+t)^2 dt = [-(ln t)/(1+t)]_ε^1 - ∫_ε^1 (-1/t)/(1+t) dt
= (ln ε)/(1+ε) + ∫_ε^1 (1/t - 1/(1+t)) dt = (ln ε)/(1+ε) + [ln t - ln (1+t)]_ε^1
= (ln ε)/(1+ε) - ln 2 - ln ε + ln (1+ε) = - ln 2 + (ln ε)(1/(1+ε) - 1) + ln (1+ε)
→ - ln 2
eftersom
(ln ε)(1/(1+ε) - 1) = (ln ε)((1-ε+O(ε^2)) - 1) = (ln ε)ε(1+O(ε)) → 0 och ln (1+ε) → ln 1 = 0.

Alltså gäller I_n → ln 2 då n → ∞.

Oj så det går alltså att integrera denna innan man flyttar in limes. Det kanske ofta går? Men det ser ut att bli väldigt mer komplicerat så det är väl därför man inte vill integrera utan att flytta in limes.

Jodå, jag har en lösning här, (nummer 2): http://www.mai.liu.se/~betur/kurser/TATM85/l101222.pdf

Enkel, men känns lite klurigt att komma på vilken substitution man ska göra. Därför jag tänkte om jag kunde komma vidare från deriveringen.

Bara och bara. Hur skulle en sån majorant se ut?

Hm... Testade jag inte den substitutionen som känns så självklar att testa? Det gjorde jag nog, men tyckte nog inte att resultatet verkade ge något användbart. Klart enklare än min omständliga lösning som jag ändå känner mig litet stolt över.

- 1/log t

fungerar som majorant, men detta är dock inte integrerbart på det givna intervallet. Så min föreslagna väg fungerar inte riktigt.

Det slog mig just att en majorant inte behövs. Det räcker att vi har en växande följd av funktioner.

Hänvisar till korollarium 2.17 i Folland, Real Analysis - Modern Techniques and their Applications, för exakta villkor (uppfyllda i detta fall).

Hur visas denna likhet analytiskt?

Kanske genom att skriva om som en dubbelintegral?
Skiss: ∫ f(x) dx = ∫∫ dy dx = ∫∫ dx dy = ∫ f^(-1)(y) dy

Givet en inverterbar och deriverbar funktion f på [0, a], sätt
F(t) = t f(t) - ∫_{f(0)}^{f(t)} f^(-1)(y) dy.
Det gäller då att F'(t) = f(t) och F(0) = 0, varför F(t) = ∫_0^t f(x) dx.

Med f(x) = nx^n/(1+x^n), för n fixt, får vi f(0) = 0, f(1) = n/2 och alltså
∫_0^1 f(x) dx = F(1) = 1 f(1) - ∫_{f(0)}^{f(1)} f^(-1)(y) dy
= n/2 - ∫_0^{n/2} f^(-1)(y) dy = ∫_0^{n/2} (1 - f^(-1)(y)) dy