Bevis för att derivatan av ln(x) är 1/x?

OBS. jag frågar inte efter ett bevis utan ber någon se om mitt bevis är inkorrekt!

Jag satt och funderade på hur jag skulle bevisa att derivatan av ln(x) är 1/x m.h.a. derivatans definition.

Jag kom på följande idé. Ni ser den nedanför:

Vi ska visa att (antar hela vägen att h->0):
[ln(x + h) - ln(x)]/h = 1/x

Detta är ju samma som att (multiplicerar x på båda sidorna, tillåtet eftersom x inte påverkas av h):
[x(ln(x + h) - ln(x))]/h = 1

Och detta är samma sak som:
[ln((x + h)^x) - ln((x)^x)]/h = 1

Och här är jag lite osäker på om det gäller, men det borde väl det?:
ln((x + h)^x - ln(x^x) = 1*h

Och om vi låter h gå mot 0 så får vi:
ln(x^x) - ln(x^x) = 1*0 <=> 0 = 0
V.S.V.

Så, den biten jag är osäker om, gäller den?

Jag använde följande regel:
Om lim f(x) = L då x->a och lim g(x) = M då x->a
Så gäller att lim [f(x)/g(x)] = L/M då x->a

Men M är ju 0 i mitt fall (?) och således borde regeln inte gälla.

Mitt bevis bör således inte vara korrekt. Men har jag tolkat det rätt (att beviset är fel)?

Beviset är fel, vilket inses om du istället ansätter att derivatan är tex 2/x. Resten av beviset kommer att stämma ändå.

Inser det. Men då är felet att M = 0?

Ja rent spontant ser det ut som att den regeln inte borde gå att använda.

(ln(x + h) - lnx)/h = ln((x + h)/h)/h = (1/x)·ln(x/h + 1)/(h/x) → (1/x)·1 = 1/x då h → 0

Bevis klart. Använder bara ett standardgränsvärde och en logaritmlag.

ska väl vara ln((x + h)/x)/h = (1/x)·ln( 1 + h/x )/(h/x)

Ja, naturligtvis.

Det är något jag inte hänger med på här, kanske beror på att jag är dåsig som satan. Men jag skulle göra såhär:

[ln(x+h) - ln(x)]/h = (1/h)ln[(x+h)/x] = ln[(1+h/x)^(1/h)] = [v=(x/h)] = ln[(1+v)^(1/(xv)] = (1/x)ln[(1+v)^(1/v)]

lim (v->0) ((1/x)ln[(1+v)^(1/v)]) = (1/x)ln[ lim(v->0) (1+v)^(1/v) ] = (1/x)*ln(e) = 1/x

e = [def] = lim(x->0)[ (1+x)^(1/x) ]

ja, det där verkar helt snurrigt.

om du sätter v=x/h så får du att h/x = 1/v, och 1/h = v/x

dessutom är det h som ska gå mot noll, och då kommer v gå mot oändligheten.

Skrev fel, menade v = h/x. Som då går mot 0 när h går mot 0.

Edit: Ser dock inte varför resterande del skulle vara galen?

resten ser bra ut =) men vad är det du inte hänger med i Otroligs version? det är ju nästan identiskt med olika beteckningar bara, ni båda använder standardgränsvärdet lim_{x→0} ln(1 + x)^(1/x) = e

Otroligs version är koncis, vet inte vad jag lallade om!