Har vi "löst" några paradoxer med hjälp av med avancerad matematik?

Det kan nog svårligen ses som en lösning på "paradoxen" när det inte är någon paradox i kontinuerlig tid heller. Dessutom är det att svara på en fråga med en annan fråga, det finns trots allt inget särskilt som talar för att tiden är diskret.

Jag påstod aldrig att det var en lösning på paradoxen.
Jag påstod endast att man antog en mängd saker som, när "paradoxen" ställdes, inte hade bevisats sanna och vissa heller inte nu.

Och för den delen, vad menar du med "lösning" på "paradoxen"? Känns rätt paradoxalt att en paradox har en lösning.

Och jag menade att huruvida tiden är kontinuerlig eller ej saknar större betydelse i det här fallet. Dessutom utgår all logik från postulat.

Därav citationstecken.

En paradox är i princip en logisk motsägelse. För att detta ska existera så krävs det att systemet vi kollar på är överdefinierat (det finns onödigt många axiom). Våra vanligaste matematiska system såsom naturliga tal eller reella tal har inga paradoxer eftersom de är väldefinierade. En klassisk paradox i mängdteori är: "Om mängden A innehåller alla mängder som inte innehåller sig själva, innehåller då A sig själv?" Denna fråga har inget korrekt svar eftersom båda alternativen blir en motsägelse. Detta beror på att de klassiska axiomen för mängder innehöll onödigt många antaganden och att man då kan kombinera dem för att härleda paradoxer som denna.

I nyare axiomsystem för mängder har man reducerat antalet axiom så att paradoxer som denna inte kan uppstå, dock leder detta till att mängderna blir klurigare att jobba med så man kör ofta med den klassiska definitionen ändå. Om du vill klassa detta om att vi har "löst" paradoxen så har vi väl gjort det nu, men jag ser det snarare som att vi har eliminerat den.

Modern matematik har inte bara löst gamla "paradoxer" utan även infört nya. Ett exempel är Banach-Tarskis paradox som säger att ett klot kan delas upp i ett ändligt antal bitar vilka sedan kan pusslas ihop till två nya klot som båda är lika stora och lika solida som det ursprungliga klotet.

På vilket sätt är det en paradox?

"The reason the Banach–Tarski theorem is called a paradox is that it contradicts basic geometric intuition." (enl. wikilänken)

På samma sätt som de gamla grekernas "paradoxer," så det är inte riktigt en paradox på riktigt.

Och det var därför jag skrev "paradox" inom citationstecken.

Faktum är att det inte är bevisat att det inte finns några motsägelser i de vanliga axiomen som används. Säg ZFC. Problemet med mängderna som du beskriver är inte att man hade för många onödiga axiom, snarare att man inte hade axiom.

Jag vet inte om den diskuterades på 1800-talet, men vissa paradoxer som uppstår från (hypotetiska) tidsresor kan få svar i kvantmekaniken, se http://plato.stanford.edu/entries/time-travel-phys/ . Detta är inte en matematisk paradox, men det finns inte så många intressanta matematiska paradoxer att diskutera. Det bästa man kan göra inom matematiken är att förstå vilka axiom som inverkar på ett visst teorem.

Det finns f.ö. en lång lista med olika paradoxer, vissa fortfarande relevanta, på wiki: http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_paradoxes

Man rör sig inte igenom att halvera distanser, man har en hastighet över en sträcka.
Om sköldpaddan rör sig i en meter på 60 sek, och Achilles joggar lite lätt två meter per sekund så blir allt lättare att se vem som kommer att ha rört sig 10 meter först.

Ja ok. Kände att min kunskap inom detta inte var allt för bred.
Tror du man någonsin kommer kunna räkna ut vad som faktiskt händer om t.ex tar den gamla paradoxen; 'Vad händer om pinoccio säger, 'Nu kommer min näsa börja växa''.
Kommer man någonsin få ett svar på en motsägelse som denna?