Unika normala delgrupper av viss ordning

Fast det där H2:t behöver väl inte vara en delgrupp till H?

Jo, då H1 är en normal delgrupp i H. Sista meningen är den mest ofullständiga, H2 är inte riktigt en delgrupp till H/K även om den är isomorph mot en, borde visa lite till där.

Är det OK att välja H1 = 1?

Allt det betyder är ju att H∩K=id.

Den enda andra delgrupp till H som jag kan försäkra mig om finns är ju H själv, dvs H1 = H då?

Ja, vilket är det som skulle visas.

Jag hänger inte med tror jag. H och K är normala delgrupper till G, |H|=|K| och sgd(|K|, [G:K])=1. Jag sätter H1 = H så den är trivialt en delgrupp till H. Men hur kan jag säga något om H1 eller H:s förhållande till K. Det är förstås detta som är uppgiften då jag ska visa H=K, men ja.. hmm...
Varför behöver jag H1 när jag redan har H?

Jag kanske missar nåt, men H/H1 är inte en delgrupp till H i allmänhet, även om H1 är normal.

Ta t.ex. H = kvaterniongruppen {±1, ±i, ±j, ±k} med i² = j² = k² = ijk = -1. H1 = {±1}. H1 är en normal delgrupp. H/H1 har ordning fyra, och består av elementen {+1 = -1, +i = -i, +j = -j, +k = -k}. Tre av dessa har ordning två, eftersom i² = j² = k² = -1 = 1. Alltså är H/H1 isomorf med Z_2 × Z_2. Dock finns bara ett element av ordning 2 i H, så H/H1 kan inte vara en delgrupp till H.


Jag tolkade Klockan3:s kommentar som att man skulle sätta H1 = H ∩ K, H2 = H/H1. Det är inte sant att H2 är en delgrupp till H, men det är sant att |H2| delar |H|. Det är också sant att H2 är (isomorf med) en delgrupp till G/K. Av detta kan man sluta sig till att H2 = {1}, så H1 = H. Sen så fortsätter man därifrån.

Tack, jag antog bara att det som stod överst i TS var ett allmänt resultat men det var väl speciellt för just G.