Unika normala delgrupper av viss ordning

En grupp G är ändlig.

Om man kvotar G med en normal delgrupp K så erhålls en ny delgrupp G/K vars ordning är |G|/|K|. |K| måste dela |G| för att ens kunna vara en delgrupp, visst?

Finns det en annan normal delgrupp H < G, för vilken gäller att |H| = |K|, eller måste H = K, om:

1. |G| = 75, |K| = 5
2. |G| = 225, |K| = 15
3. SGD(|K|, |G|/|K|) = 1

Flummigt:
1. Det känns som att man får välja vilken av de två "5orna" man vill kvota bort, och således finns det två normala delgrupper med ordning 5.
2. Här får man välja mellan 2st 3or och 2st 5or, som kan göras på 4 sätt och alltså finns det 4 olika delgrupper av ordning 15.
På 3 tänker jag såhär: Om |K| och kvotgruppens ordning |G|/|K| är relativt prima så kan man inte ändra vilka delar man vill kvota bort och det finns alltså bara en unik normal delgrupp med ordning |K|.

Men jag vet inte alls om detta stämmer, eller hur man skulle ta tag i och börja visa något av detta, säg 3:an. Behöver en knuff känner jag, all hjälp uppskattas.

EDIT: Jag kanske menar undergrupp med delgrupp - är det samma sak?

Frågan är luddigt formulerad som du ställt den, du har nog inte sagt allt som står. I fall 1 och 2 så kan det finnas sådana delgrupper, ja, men inte nödvändigtvis. I fall 3 så kan det inte finnas oavsett hur G är konstruerad.

På tvåan till exempel så kan den bestå av två stycken 15 cykler, då finns det givetvis två stycken delgrupper av ordning 15, men om man bara har en enda 225 cykel så skulle vi omöjligen kunna skapa två delgrupper av ordning 15 ifrån den.

OK. Jo uppgiften är egentligen bara ställd för fall 3.
Mmm men varför? Vad ska man ta till för att visa detta?

PS. G kan också vara icke-abelsk.

Ett sätt: Antag att H är en annan normal delgrupp av samma ordning, och betrakta storleken av bilden av H under avbildningen G -> G/K. Visa att den storleken måste vara 1, och fortsätt därifrån.

Finns det något namn på en sådan avbildning? Kanske "kvotering" :P

Jag känner mig verkligen jättedålig på det här. Nåväl, |H|=|K| delar inte [G:K].
Genom avbildningen G -> G/K avbildas K på 1.
Jag gissar att alla mängder i G kommer att minska sin storlek med en faktor |K|. Speciellt kommer |H| att avbildas på något av storlek |H|/|K| = 1. Men jag är inte säker på detta.

Men i så fall har både H och K avbildats på 1an. Vad det säger vet jag inte riktigt. Eftersom en homomorfi inte är injektiv borde väl H kunna vara skild från K och ändå avbildas på 1an?

Kvotavbildning.


Det är inte sant att alla mängder i G minskar sin storlek med en faktor |K|.


Poängen är snarare att kärnan till homorfin G -> G/K är just K, så om hela H avbildas på 1 så måste H vara en delgrupp till K. Då måste H = K, eftersom de är ändliga av samma storlek.

För att visa att hela H avbildas på 1 måste du använda följande egenskaper: Låt φ beteckna homomorfin G -> G/K. Då är

1) |G/K| = [G:K]
2) φ(H) är en delgrupp till G/K
3) H ∩ ker φ är en delgrupp till H
4) |H ∩ ker φ|*|φ(H)| = |H|.

Visa 1) - 4) ovan. Sen kan du fundera på varför detta visar att φ(H) = {1}.

Hela tiden så betecknar 1 identitetselementen i kvotgruppen G/K.

Känner mig vilsen alltså, tack för du orkar hjälpa till.
1) Direkt ur Lagrange sats.
2) Homomorfismer avbildar undergrupper på undergrupper.
3) Ker φ = K. Hittar ett lemma:
H_i undergrupper till G. Då är snittet av alla H_i =: H en undergrupp till G. Men för så vill jag ju att snittet av alla H_i ska vara en undergrupp till varje H_i. Kan man ta sig fram den här vägen?
4) Förstår jag inte riktigt. |H ∩ ker φ| = antal element som H har gemensamt med kärnan. |φ(H)| antal element i bilden av H. Och detta ska alltså vara lika med antalet element i H, hmm..

Kladdar vidare...

Ja. Att H_i är en undergrupp till G betyder bara att det är en delmängd till G, som är en grupp med samma gruppoperation som G. Att H är en undergrupp till G betyder att H är en delmängd till G, som är grupp, också med samma gruppoperation.
Nu är H uppenbarligen en delmängd av varje H_i, och är en grupp under samma gruppoperation som i G, vilket är samma gruppoperation som i H_i. Alltså är H en undergrupp till varje H_i.


Låt K vara H ∩ ker φ. K är då en undergrupp till H. Beviset av formeln är ganska lik beviset för Lagranges sats.

4) Jag sitter fast. Lagrange sats säger att |H ∩ ker φ| är en delare i |H| eftersom den förra är en delgrupp till den senare. Men hur uttrycker jag |φ(H)| på något annat sätt? Är det |H|/|φ(H)| som jag borde kunna klura ut?

Lagranges sats säger också vad |H| / |H ∩ ker φ| är.

Men jag tycker det är enklare att bara härma beviset för Lagranges sats. Låt, för varje y i φ(H), H_y vara

H_y = {x ∈ H : φ(x) = y}.

Visa att

(i) Dessa H_x bildar en partition av H, samt
(ii) Varje H_x har storlek |H ∩ ker φ|.

Det enda vår version av Lagranges sats säger är:


(i) Hur vet jag att jag inte riskerar att få något större än H?
(ii) Vad har ker φ gemensamt med H?

Jag tycker inte om att förlita sig sådär mycket på satser. Visa att det existerar en normal undergrupp H1 till H så att H1⊆K, (trivialt), sen så får du en delgrupp till utanför K mha H/H1=H2. H2 är en delgrupp till både H och G/K och därmed är |H2| delare till både |K| och |G/K|.