Vänster-invarianta vektorfält..

Så kan man se det ja. df är i nån mening gradienten till f, förutom att det är ett kovektorfält och inte ett vektorfält. Du kan göra ett vektorfält av det om du har en metrik g på din mångfald, och kan då definiera gradienten till f genom att följande formel ska gälla för alla vektorer Y_p

[; g_p((\nabla X)_p, Y_p) = df_p(Y_p) ;]

(Detta definierar gradienten unikt.)

Detta kräver dock en metrik för att fungera. I nån mening så blir det tydligare i detta mångdfalds-fall att gradienten egentligen är mer naturligt en kovektor och inte en vektor, just för att man inte behöver en metrik för att definiera df.

Hur går denna transformation ihop om vi gör ett koordinatbyte? Innebär en metrik att gradienten är basoberoende i tangentrumsbasen?

Jag förstår inte frågan. Om man gör ett koordinatbyte kommer kommer koordinaterna till gradienten transformeras som vilken annan vektor som helst. Koordinaterna till kovektorn df transformeras "tvärtom", men precis som vilken annan kovektor som helst.

Var nog lite luddigt skrivet.
I boken började författaren att visa att vektorn

[; \nabla f = \sum_i \frac{\partial f}{\partial x^i}\frac{\partial}{\partial x^i},;]
inte är basoberoende.

Min tanke var nu att om metriken, g, binder samman 'df' samt 'grad f' varav en är basoberoende samt en är basberoende, borde vi väl stöta på bekymmer.

Ber om ursäkt, känns som jag är helt inkompetent här. Men är alltid svårt när det är massa nya koncept och bitarna måste hamna på rätt plats.

Aha. Men det där är inte min definition av gradienten. Min definition kan i koordinater skrivas

[; \nabla f = \sum_{i,j} g^{ij} \frac{\partial f}{\partial x^i} \frac{\partial}{\partial x^j} ;]

Detta är basoberoende. Skillnaden mellan formlerna är bara att den första formeln är samma som den andra, men antagandet att metriken är

[; g^{ij} = \delta^{ij};]

(Kroneckers delta). Problemet är att metriken aldrig kan vara lika med δ^{ij} i alla baser samtidigt. Så egentligen är felet med den första definitionen att man "glömmer" att ta hänsyn till att metriken också ändras beroende på koordinatsystem, och att man i sin formel måste ha med denna metrik för att få allting kovariant ingen.

Så ja, grad f kan definieras genom att "binda samman" g och df. Gör man så så kommer det vara basoberoende. Däremot så tog man inte med g i första definitionen, så man binder samman df med kvantiteten δ^{ij}, som inte är basoberoende, dvs inte transformeras på rätt sätt vid basbyten. På det sättet får man något som inte är basoberoende, och allt blir galet.