Vänster-invarianta vektorfält..

Howdieho!
Jag förstår den matematisk definitionen av ett vänster invariant vektorfält på en lie grupp. Men har på känn att jag inte förstår innebörden av dem..

Visst de är en subalgebra till Lie algebran på vår Lie grupp.

Och gruppen Lie(G) har samma dimension som gruppen själv.

Men vad ska de användas till? Hur kommer de in i fysiken? Är de någon bas till tangentrummen?


Sidofråga: Går det skriva latexkod på flashback på någe sätt?

Se min signatur.

Ah spanks!

De är Lie-algebran till Lie-gruppen.


T.ex. för att definiera Lie-algebran för G, eller närmare bestämt vad det betyder att ta [X, Y] för X, Y i Lie-algebran ifråga.

Är det verkligen så? Författaren börjar med att introducera Lie bracket på vektorfält i allmänhet, element av mängden han kallar T(M). Sedan skriver han att för en Lie grupp kommer T(G) utgöra en lie algebra (inte så konstigt när det är samma bracket definition som vi använder här). De vänsterinvariant tycks ju vara en liten delmängd av alla de möjliga glatta vektorfält vi kan konstruera på G. Borde det då inte bli en subalgebra?

Kan hända att han bevisar en ekvivalensrelation senare i boken.

Mängden av alla sektioner till T(G) utgör en Lie-algebra, ja, men den här Lie-algebran är väldigt stor (framförallt inte ändligt-dimensionell), och är inte det vi menar när vi säger Lie-algebran för/av/svarandes mot/associerad till Lie-gruppen G. Utan den Lie-algebran är delalgebran som ges av alla vänsterinvarianta vektorfält.

Ah okey! Ska läsa kapitlet igen och se om det klarnar lite extra.
Tack ska du ha! Snabb repsons för att vara denna tiden på dygnet.

dubbelpost.

Tar en till fråga på liknande ämne, ang kovarianta fält.

Vi definierar ett kovektorfält enligt:

[; df_p (X_p) \equiv X_p f;]

där

[; X_p \in T_pM, \; f \in C^\infty(M) ;].

Hur ska jag tolka vänsterledet här? Är det ett kovektorfält df som uppenbarligen är beroende av vilken tangentvektor vi väljer, X_p? (detta känns korrekt.)

Eller verkar kovektorn df_p faktiskt på tangentvektorn X_p i varje punkt? I så fall borde vi väl få en reellvärd funktion, eftersom det är en funktional vi snackar om?

Det senare. df är ett kovektorfält, så att det i punkt p verkar som följer: Om du ger mig ett tangentvektor X_p vid p, så bestämmer jag att

df_p (X_p) = X_p f.

Högerledet betyder här att X_p verkar på f genom "derivering längs med f". Högerledet är reellvärd, så det är inga problem, och uppenbart linjärt i X_p, så detta definierar en kovektor df_p för varje p. Det är "uppenbart" att df_p varierar glatt med p (ta koordinater i en omgivning av p för att kolla detta).

Ah!!! Right! högerledet är ju en ny funktion inte ett kovektorfält, vi har ju plus mellan våra partiella derivator i X_p. Tänkte av någon anledning att vi får

[;X_p f = (\frac{\partial f}{\partial x^1}, \frac{\partial f}{\partial x^2},...);].

Kan nog hända att jag får ihop allt nu.

Det här är väl egentligen bara en mer generaliserad form av ekvationen för riktningsderivata där man tar enhetsvektorn för riktningen skalärmultiplicerat med gradienten?