Laddningar, vad är de för något?

Laddning och spinn hänger inte ihop, men spinn avgör definitivt vad för slags partikel något är.

Laddning "är" om något det som beskriver vilken representation av gauge-gruppen partikeln befinner sig i. I elektromagnetism är gaugegruppen U(1) och därför kan vi kategorisera de olika irreducibla representationerna i termer av reella tal, men detta är inte fallet för mer allmänna SU(N) gaugeteorier. Ta t.ex. QCD, teorin om färgladdning och kvarkar, vilken har symmetrigrupp SU(3). En kvark är/beskrivs av en vektor i vektorrummet som den fundamentala representationen av SU(3) verkar på, vilket inte är något annat än C^3 (där C är det komplexa planet). Det vi menar med färger är sedan inget annat än de tre basvektorerna för C^3, och tillståndet för en kvark beskrivs sedan som en vektor av enhetslängd. Och jag inser när jag läser detta att det knappast är förståerligt även för någon som kan materialet, så ursäkta. Att faktiskt förstå gaugeteori på en bra, fundamental nivå är inte en helt triviell affär, och involverar en massa fin matematik om grupprepresentationer, principal g-bundles och annat skoj.

Hmm, som för spin då? Spin n hör ihop med en representation av dimension 2n+1 av SO(3). Hör det här ihop med att den elektriska laddningen är kvantiserad? Och i så fall varför 0, 1/3, 2/3, 1 när vi för spin kan ha 0, 1/2, 1, 3/2, 2...? Fast partiklar med olika spin har ju olika många spinfrihetsgrader, men oavsett laddning har ju partiklar bara ett laddningstillstånd, en elektron kan ha spin-upp eller spin-ned men alltid laddning -1.
Fast det väl bara en del av kvarkens tillstånd som beskrivs av vektorn i C^3, i hela tillståndet bör vi inkludera även en faktor för kvarkens rumsliga frihetsgrader, eller hur? Detaljer, kanske. Och egentligen är det väl någon form av tensorprodukt... Fascinerande hur mycket algebra man måste kunna för att verkligen formulera sånt här formellt.
Jo, det verkar elegant. Kopplingen abstrakt algebra-fysik är fascinerande och filosofiskt tilltalande.

You lost me!

Ok, så när vi beskriver en partikel med spinn säger vi i vilken representation av SO(3) den tillhör (eller egentligen dess "double cover", SU(2), men det är en detalj). De olika representationerna av SO(3) är som du säger diskreta saker och deras dimension bestämmer vilket spinn partikeln kan ha, vilket förklarar de diskreta värdena spinn kan ha. Det enklaste exemplet är spinn 1/2. Där beskrivs partikeln av en komplex 2d vektor, på vilken grupprepresentationen kan verka (precis som du påpekar så bryr jag mig bara om precis de frihetsgrader jag diskuterar för tillfället, och ignorerar t.ex. rumtidsberoende, andra laddningar etc).

För elektrisk laddning är det inte riktigt lika enkelt. Gruppen U(1) har representationer på de komplexa talen, så en partikel beskrivs av ett komplext tal (med enhetslängd, för normalisering). Den enklaste representationen av U(1) är att låta varje gruppelement representeras av exp(i*theta), där theta går mellan 0 och 2pi. Men det kniviga är att vi får en annan representation om vi istället tar exp(i*e*theta), där e är något reellt tal. e här är alltså en reell parameter associerad med en viss partikel, som avgör i vilken representation partikeln lever, och är det vi normalt kallar elektrisk laddning. Men e kan vara vilket tal som helst, så inget av detta visar varför vi har diskret kvantiserad laddning.

Det finns såklart teorier om detta, och t.ex. kan man visa att om det finns magnetiska monopoler så måste elektrisk laddning komma i diskreta block, men det är ett betydligt mer subtilt argument som jag inte riktigt förstår till fullo.

Däremot, när vi går till svag och stark växelverkan har vi gaugegrupper SU(2) och SU(3), och där får vi på samma sätt som för spinnet en viss förklaring för varför vi har diskreta laddningar, för där kan vi inte (så vitt jag vet iaf.) ha kontinuerliga familjer av representationer.
Det är verkligen mycket elegant och intressant, och det som tilltalar mig är hur mycket av det som verkar vara geometri i grund och botten, kopplingen geometri-fysik tilltalar mig väldigt mycket.

Okej, så partiklar med olika elektrisk laddning lever i olika representationer, men de är alla endimensionella, så vi kan egentligen inte studera deras symmetriegenskaper direkt. Hur dyker faktorn e i representationen upp i lagrangianen? (För det måste den ju göra, annars skulle de inte påverkas olika mycket av EM-fältet.)

Det argumentet finns i Griffiths, jag tyckte det var ganska enkelt. Om det existerar en magnetisk monopol och en elektrisk monopol är rörelsemängdsmomentet i fältet på grund av deras växelverkan proportionerligt mot laddningarna och oberoende av avståndet, men kvantmekaniskt är rörelsemängdsmoment alltid heltalsmultiplar av hbar.

Med diskret menar du väl att färgladdningen är en enhetsvektor? Alla färgladdade partiklar som man observerat hör till samma representation om jag förstått det rätt. Skulle man kunna tänka sig en starkt växelverkande partikel som hör till en annan representation och jämfört med en vanlig kvark beter sig som en partikel med elektrisk laddning 2/3 jämfört med en med elektrisk laddning 1/3? (Undrar varför det inte finns elementarpartiklar med laddning 4/3, 5/3 eller 2...) Skulle man behöva införa en ny sorts gluoner?

Förstår inte vad du menar med "de är alla endimensionella, så vi kan egentligen inte studera deras symmetriegenskaper direkt." Poängen är att vi enbart kan veta vilken representation en partikel är i, vi kan aldrig veta i vilken riktning i "symmetrirummet" den pekar mot just nu. Detta är i någon mening hela kruxet med gaugesymmetrier. Faktorn e dyker upp i kopplingen mellan partikeln och fotonen, eller i den kovarianta derivatan om du så vill, och bestämmer hur starkt partikeln och fotonen växelverkar, och det är därför vi kan se partiklarnas laddning. Ur ett mer teoretiskt perspektiv så kommer det från att partiklar i olika representationer har olika kovarianta derivator.
Hmm, ja, det har du rätt i. Det där är ju ett trevligt, enkelt argument och inte det jag tänkte på; det jag hade i åtanke var ett mer abstrakt resonemang jag läste i en väldigt förvirrande bok, och handlade om hur en magnetisk monopol var en "topologisk obstruktion" vilket leder till "icketriviella kohomologigrupper" och annat abstrakt nonsens (okej, inte äkta abstrakt nonsens, men ändå).

För det första, vi har aldrig observerat en färgladdad partikel (så du har rätt i att alla vi observerat är i samma representation, förövrigt): vi har inte sett en enskild kvark eller en enskild gluon. För det andra, en kvark och en gluon är inte i samma representation, kvarken lever i den fundamentala representationen och gluonen i den "adjointa" (ingen aning om bra svensk översättning). Dessa är väldigt olika och har t.ex. olika dimensioner, fundamentala är 3 dimensionell vilket svarar mot de vanliga tre färgerna, medans den adjointa är 8 dimensionell, vilket ungefär svarar mot att gluonen har en färg och en antifärg. En antikvark lever i den antifundamentala representationen och bär antifärg.

Vi kan gott tänka oss att introducera en ny typ av kvark, som lever i en annan representation av vår gaugegrupp. Detta tvingar oss inte till att införa en ny gluon, men det tvingar oss att införa en ny kovariant derivata så att den nya kvarken kopplar till gluonerna på ett nytt sätt, vilket skulle innebära en ny kopplingsstyrka och en annan struktur i hur kvarkarna beter sig. Det är väldigt svårt att säga hur den resulterande fysiken skulle se ut.

Adjungerade?

Jag menade att man kan testa symmetriegenskaperna för partiklar med spin i någon form av interferensexperiment med en rotation av något slag (http://wikis.lib.ncsu.edu/images/0/0...rferometry.pdf, tror det var du som länkade den i en tråd för några månader sen). En spin 1/2-partikel beter sig annorlunda när man roterar den än en spin 1-partikel, men jag tänker mig att ett sådant experiment inte skulle kunna skilja mellan laddning 1/3 och 2/3. Fast jag kanske är förvirrad just nu.
Olika kovarianta derivator, ah. De framställningar jag sett har bara konstaterat "kovarianta derivatan är ..." utan att ge något argument till varför en faktor e (q) dyker upp i den. Det känns ju på något sätt intuitivt från vad man redan vet om laddade partiklar men samtidigt frågar man sig var den kommer ifrån.

Det lät minst sagt lite jobbigare.

Färgladdning är alltså för komplicerat för att man enkelt ska kunna tänka sig en sorts kvark som bara kopplar starkare? En kvark som är "mer färgad". Det kanske man kunde förvänta sig.

Du är nog lite förvirrad, vilket är fullt förståerligt, detta är förvirrande saker. Laddning och spinn är helt olika saker, laddning påverkar inte hur partiklar beter sig under rotation, och vi kan "direkt observera" elektrisk laddning genom att titta på hur partiklarna beter sig i elektriska fält och magnetiska fält.

Jo, ungefär så. Vi har ijuförsig en kopplingskonstant i vår Lagrangeterm, precis som för elektrodynamik och denna kan vi såklart ändra på för att få starkare interaktioner, men detta svarar inte direkt mot att kvarkarna ändra färgstrukturen på våra kvarkar. Denna kopplingskonstant anger bara den totala styrkan i den starka interaktionen. På samma sätt skulle vi kunna säga att för elektrodynamiken anger elektronens laddning e styrkan i elektromagnetiska interaktioner, och olika partiklar skiljer sig sen åt med faktorer +1,-1,2/3,-1/3, etc. vilket svarar mot vilken representation de är i, och också återspeglar sig i hur faktorn i interaktionstermen ser ut. Vi kan ändra på e, men det ändrar inte på partiklarnas relativa laddning. Här ser vi tydligt att faktorerna kommer i diskreta enheter, men teorin kräver det inte (iaf. om vi inte har monopoler), och eftersom U(1) är en enkel abelsk grupp kommer alla representationer vara mer eller mindre likadana och alla interaktioner kommer se likadana ut, dvs. alla de olika laddade partiklarna kommer uppträda väldigt likartat. Detta kommer inte vara fallet för mer komplicerade, ickeabelska grupper som SU(3) och SU(2), där kommutationsrelationerna kommer ge oss nya interaktioner.

Nej, det är klart spin är ju en konsekvens av en global rumtidsymmetri, laddningen har att göra med en abstrakt gaugesymmetri. (Kan man testa gaugesymmetri i ett experiment eller går det emot själva principen? Det skulle väl vara laddningens bevarande i så fall? )

Jag tror jag hänger med nu!

Det vi kan se är konsekvenserna av gaugesymmetrin, men vi kan aldrig testa den "interna strukturen", dvs. i vilken riktning i vektorrummet (C för EM, och C^3 för en kvark) som en viss partikel pekar: alla sådana riktningar är fysiskt ekvivalenta, det är själva principen. Laddningens bevarande är en sådan konsekvens som vi kan testa, och alla interaktionerna är ju också konsekvenser av gaugeteorins struktur. I någon mening är gaugesymmetri inget annat än ett överflöd i vårt matematiska språk, dvs. vi beskriver en partikel på ett visst sätt och kräver sedan att observerbara saker inte kan bero på delar av denna beskrivning.
Underbart! Det är kul att försöka förklara faktiskt, det är ämnen jag själv studerat och förstått mer ordentligt väldigt nyligen, och att försöka förklara koncept är alltid ett nyttig sak.

Är inte det samtidigt ett 'problem' med tex en teori som qed, dvs den kovarianta derivatan medger vilket värde på laddningen som helst? Representationen för U(1) är endimensionell så några kvoter mellan olika laddningar finns inte.