Kontinuerliga funktioner

Hej
Jag vet vad en kontinuerlig funktion är men jag undrar hur man vet att en funktion är kontinuerlig utan att rita den?
Har lagt märke till ett begrepp "elementär funktion" förekommer i denna fråga. Vad innebär Elementär funktion?

Tex:
Hur vet man att f(x) = ln(x + 1) + ln(x + 2) − ln(3) är kontinuerlig?

Man brukar undersöka var derivatan är definierad.

Hur menar du ?, använd f(x) = ln(x + 1) + ln(x + 2) − ln(3) som exempel

Om funktionen är definierad för alla värden i [a,b] och har samma definition för dem, så är den kontinuerlig. Tror jag.

y = |x| saknar derivata i x = 0, men är väl ändå kontinuerlig?

Du vet t.ex.

(i) Funktionen ln är kontinuerlig på intervallet (0, oändligheten),
(ii) Konstanta funktioner är kontinuerliga
(iii) Linjära funktioner är kontinuerliga
(iv) Sammansättningar av kontinuerliga funktioner är kontinuerliga
(v) Summor av kontinuerliga funktioner är kontinuerliga.

Av detta så kan du sluta dig till att ditt uttryck är kontinuerligt på intervallet (-2, oändligheten).

Men det är lite jobbigt att kolla ifall funktionen är definerad för alla värden i ett intervall. Finns det inte regler inom detta? tex: blabla-funktioner är alltid kontinuerliga, men blabla-funktioner är icke-kontinuerliga osv. ?

Ah bra där !! det är sånt jag vill höra

y = |x| = sqrt(x^2) är inte kontinuerlig vid x=0 eftersom derivatan y'=x/sqrt(x^2) inte är definierad vid x=0.

Helt fel. Deriverbarhet implicerar kontinuitet men omvändningen gäller inte.
http://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_function Aldrig deriverbar, alltid kontinuerlig.
Vadå "samma definition"? Är f(x) = 0 om x irrationellt, 1 om x rationellt på [0,1] kontinuerlig? I någon mening är det ju "samma definition" på hela intervallet. En funktions egenskaper bör helst vara oberoende av representationen av funktionen också, så att att hänvisa till funktionens "definition" istället för egenskaper hos dess värde- och definitionsmängder är inte elegant.

Visst är f(x) = |x| = sqrt(x²) kontinuerlig i x = 0:

lim f(x) = 0 = f(0), eller hur?
x->0

Det finns funktioner som är kontinuerliga överallt (i definitionsområdet) men ingenstans deriverbara, se t.ex:
http://en.wikipedia.org/wiki/Nowhere_differentiable

Edit: blev 2:a på den.

Oftast är det inte så jobbigt. Du vet till exempel att 1/x inte är definierad för x = 0. Inte heller är ln(x) är definierad för x <= 0. Och så vidare.



Jag var lite disträ när jag skrev inlägget och lyckades inte hitta någon tillfredsställande formulering. Jag är medveten om det och ber om ursäkt.