Vågrörelselära

... med tillämpning inom musik:

http://www.science20.com/news_releas...rier_transform

http://sound-ideas.blogspot.com/2006...ch-part-3.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Frequency_spectrum

Nu kan iofs inte k^2 vara mindre än noll. Men jag vet vad du menar. Jag vet väldigt lite om diagonalisering, i princip ingenting. Jag vet bara kravet för en bas eftersom jag förstår linjärkombinationer.

Och vad menar du med egenfunktioner? Har detta något med egenvektor, egenvärde osv att göra?

Vem sade att k är reellt? Det här med diagonalisering... Säg att vi har en linjär avbildning R^n -> R^n. Vad är kravet på en bas för att avbildningens matrise ska vara diagonal? Tja, betrakta den första basvektorn e_1, eller på komponentform (1, 0, 0...). Multiplicerar vi denna med A får vi ju

Ae_1 = (a11*1, a22*0, a33*0, ... ) = (a11, 0, 0, ...) = a11*e_1

vilket är samma sak som att e_1 är en egenvektor med egenvärdet a11. Så kravet för att en matris ska vara diagonal är att basvektorerna är precis matrisens egenvektorer. Fördelen för ändliga matriser är att man enkelt kan beräkna A^k*v: uttryck v i egenbasen, multiplicera alla komponenter med respektive egenvärde upphöjt till k, byt tillbaka vilket är betydligt mindre räkning än k nxn-matrismultiplikationer.

Om man har ett vektorrum där vektorerna är funktioner brukar man säga egenfunktion istället för egenvektor, men det är samma begrepp.

Ja.


Jo, linjeelementet är (dx, dy, dz) jag glömde att jag bytte notation mitt i inlägget.

Det är sant! Fortfarande är dock k² alltid positivt. Men k kan vara mindre än 0. Då kan vi förvisso inte ordna dessa i storleksordning.

Tror jag förstår idén men har svårt att koppla det. Jag måste verkligen läsa till mer linjär algebra, kan på tok för mycket för gymnasiematematiken men på tok för lite av vad jag vill kunna. Känner mig liksom handikappad, precis som att spela FPS-spel på en konsoll.

Tack till er alla tre. Har inte riktigt haft tid att återknyta till tråden förens nu.

Hur menar du? Om k är ex. i så blir ju k² = -1 och lösningarna blir exponentialfunktioner. För ett allmänt komplext k så ger imaginärdelen dämpningen enligt nedan.

Riktiga fysikaliska system förlorar energi och man inför därför en dämpande kraft. Man antar ofta att den dämpande kraften är proportionell mot hastigheten (den bör ju inte bero på utsvängningen).

I differentialekvationen kommer du då få en extra term C*dx/dt, så att

md²x/dt² = -Cdx/dt - kx

eller

d²x/dt² + 2ζω*dx/dt + ω²x = 0

där ω = √(k/m) och ζω = C/(2m). Den karaktäristiska ekvationen blir

r² + 2ζωr + ω² = 0

och beroende på vinkelfrekvensen och dämpningen fås tre fall.

Underdämpad rörelse, ζ < 1
Lösningarna kan skrivas

r = -ζω ± √((ζω)² - ω²) = -ζω ± iωd

där ωd = ω√(1-ζ) och lösningen kan skrivas

x = Aexp(-ζω*t)*sin(ωd*t + δ),

där A och δ bestäms av begynnelsevillkoren. Notera att oscillationsfrekvensen ωd alltså inte är lika med ω. Systemet kommer nu att "oscillera ner" mot jämvikt, som en lös svängdörr som man släpper.

Kritisk dämpning, ζ = 1
Man får dubbelrötter r = -ζω och lösningen kan skrivas

x = (A + Bt)exp(-ωt).

Systemet går nu mot jämvikt på minimal tid, som en perfekt avvägd dörr med dämpningsmekanism

Överdämpad rörelse, ζ > 1
Lösningarna kan skrivas

r = -ζω ± √((ζω)² - ω²) = -ω(ζ ± √(1-ζ))

så man får två reella rötter och alltså lösningen

x = Aexp(-ωt(ζ + √(1-ζ)))+ Bexp(-ωt(ζ - √(1-ζ))).

Systemet är överdämpad och tar "onödigt" långt tid på sig att nå jämvikt, som en dörr med väldigt effektiv dämpningsmekanism.

Om du nu lägger till en drivande kraft också, Fd = F0sin(Ωt) så kommer lösningen ges av lösningen till den homogena ekvationen ovan plus en partikulärlösning på formen xp = Csin(Ωt - ψ) där C kan räknas ut och där Ψ, som också kan räknas ut, är en fasskillnad mellan den drivande kraften och systemets respons. I detta fall kommer den naturliga oscillationen till slut att dämpas bort (vi har ju en avtagande exponentiell faktor) och kvar har man xp.

Uttryckte mig otroligt klumpigt. Hur som...
Vad jag menar är att om man inte skrivet något om ett tal, så är det alltid reellt. Då kan det aldrig vara mindre än 0. Den sista meningen kan du ignorera för jag tänkte helt fel.

Du menar att ωd = ω√(ζ-1)? Fast det menar du troligen inte eftersom du faktoriserade den imaginära enheten (ignore alltså) För övrigt, hur utläser man ζ? I vilket alfabet finns den? Har nog aldrig sett den innan, om det nu inte skall vara "ksi eller xi" som man såg i en del medelvärdessatser.

Du har här skrivit om Acos(|Im(r)|t)+Bsin(|Im(r)|t) till sin(|Im(r)|t+δ)? (Är van vid att se den icke omskriven) Kan man alltid skriva en summa av godtyckligt många termer av sin och cos till en sin eller cos?

Hur vet man att detta är minimal tid? Skulle det inte lika gärna kunna vara någon av de andra fallen? B kan ju vara överjävligt stor.

Bra att du hela tiden tar med exempel. Det gör otroligt mycket för förståelsen.

Nvm på frågan "xp". Det var ju en partikulär. Tänkte x multiplicerat med p.

Fråga 1:
Vad händer om nu ω inte är konstant? Hur löser man då dessa? Eller är den alltid konstant för annars skulle... (något). Alltså, finns det någon "Integrerande faktor-metod" för andra ordningen?

Fråga 2:
Hur relaterar man detta till egenfrekvens? För om vi har en drivande kraft som är så fin att den har samma frekvens som egenfrekvensen så kommer ju dörren få en jävla svängning efter ett tag. Tex en farsa som gungar sin unge på lekplatsen med gungans egenfrekvens. Om då den drivande kraften är mycket större än den dämpande så kommer ju ungen börja snurra runt hela ställningen tillslut. Kan man beräkna egenfrekvensen av detta?

Eller är jag helt ute och cyklar?

Klockan är alldeles för mycket och jag är alldeles för okunnig men två snabba! Bokstaven är grekiskt Z, vilket är ett överjävligt tecken att kludda med i sina uträkningar då de aldrig ser likadana ut.

Resonans kan uppstå, du kan också ha liknande frekvenser men ur fas då det kommer att ske en dämpning enligt superpositionsprincipen istället. Detta kan användas i olika system. Vet ej hur det är med gungexemplet.

Ja, kan inte författaren använda lambda eller tau något annat tecken som inte kräver högskolepoäng i grekiska?

[quote=BengtZz]Du menar att ωd = ω√(ζ-1)? Fast det menar du troligen inte eftersom du faktoriserade den imaginära enheten (ignore alltså) För övrigt, hur utläser man ζ? I vilket alfabet finns den? Har nog aldrig sett den innan, om det nu inte skall vara "ksi eller xi" som man såg i en del medelvärdessatser.

För att vara tydlig

r = -ζω ± √((ζω)² - ω²) = -ζω ± √(-(ω²-ζω²)) = -ζω ± √((-1)*(ω²(1-ζ)) = -ζω ± i*√(ω²(1-ζ)) = -ζω ± i*ω√(1-ζ) = -ζω ± iωd.

ζ är lilla sigma (en av sigma-varianterna som finns).


Om frekvensen är den samma blir resultatet av en summa bara en fasskiftad sin (eller cos).

Acos(|Im(r)|t)+Bsin(|Im(r)|t) = Asin(|Im(r)|t + π/2)+Bsin(|Im(r)|t)
= Im(Aexp(i(|Im(r)|t + π/2)) + Bexp(i|Im(r)|t))
= Im((Aexp(iπ/2) + B)*exp(i|Im(r)|t))
= Im(Cexp(iδ)*exp(i|Im(r)|t))
= Im(Cexp((i|Im(r)|t+δ)))
= Csin(i|Im(r)|t+δ).

Aexp(-ζωt + iωdt) + Bexp(-ζωt - iωdt) = exp(-ζωt)(Aexp(iωdt) + Bexp(-iωdt))
= exp(-ζωt)(Aexp(iωdt) + Bexp(-iωdt))


ζ beror ju på B så är anpassad efter detta. Jämför enveloppen för den underdämpade kurvan med den kritiskt dämpade och den överdämpade kurvan. Hur lång tid tar det innan vi kommer under något värde e?



Inte är konstant på vilket sätt? I tiden eller i rummet? Du tänker dig alltså en fjäderkonstant som inte är konstant. Jag kan inte säga något allmänt om det fallet men du får ingen harmonisk rörelse i alla fall och får en mer komplicerad differentialekvation som beror på hur den är icke-konstant.



Egenfrekvensen i det odämpade fallet är helt enkelt ω. Det är ju frekvensen som systemet "vill" svänga med, alltså den naturliga frekvensen. I det underdämpade fallet har vi ingen äkta frekvens men vi kan definiera en naturlig frekvens som sinusfaktorns frekvens. Den naturliga frekvensen skiftas men detta är faktiskt inte den frekvens vid vilken systemet tar upp energi maximalt, alltså resonansfrekvensen. I det underdämpade fallet har du alltså en naturlig frekvens för oscillationerna och en resonansfrekvens id driven rörelse (sinusformad). Den blir ωR = ω² - 2ζ. Du får detta genom att undersöka när amplituden för partikulärlösningen blir maximal (den är en funktion av ω).

Njae, ζ är lilla zeta.

ς är det lilla sigma du tänker på.