Vågrörelselära

Okey, då var det som jag trodde. Tack! Litar hellre på alla duktiga personer här än random sida på wiki iaf.

Varför väljer du att skriva k i kvadrat?

För att då är k rörelsens vinkelfrekvens och den allmänna lösningen är Acos(kx) + Bsin(kx), vilket är snyggare än att blanda in rottecknen.

Skitbra!

Lite komplettering till sp3tts svar.

Jag skulle kanske oftare skriva ω² eftersom ω ofta betecknar vinkelfrekvensen. Säg att du har en kraft F som är proportionell mot utsvängningen x och försöker "dra" tillbaka en partikel med massa m mot jämviktspunkten, exempelvis som i fallet med en ideal fjäder kopplad till en partikel med massa m. Newtons andra lag ger

mx'' = -kx

där k är proportionalitetskonstanten. Nu blir vinkelfrekvensen ω = √(k/m) och vi har en ekvation på formen som sp3tt skrev ned.

I klassisk mekanik så ger alltså krafter av denna typ upphov till harmonisk rörelse. Vilken typ av potential ger upphov till dessa krafter? Jo, en potential V(x) som är kvadratisk i positionsvariabeln. I fysiken pratar man ofta om ex. harmoniska oscillatorer som är system där kraften/potentialen har dessa egenskaper.

Notera vidare att nära ett minimum i potentiell energi så kan V(x) serieutvecklas och till andra ordning fås då en konstant-term (som vi kan få bort med en koordinattransformation) och en term av andra graden i x. Förstagradstermen försvinner ju då vi har ett minimum - derivatan av V(x) är noll i minimipunkten. Alltså är alla potentialer approximativt harmoniska nära ett minimum och därför förekommer approximativt harmonisk rörelse överallt i fysiken. Detta gäller alltså för konservativa krafter som då har en potentialfunktion. Denna approximation används överallt. Exempelvis brukar man i kristallina material anta att jonerna upplever en potential (från varandra) av denna typ och man kan då härleda grundläggande egenskaper för hur jonernas vibrationer "lagrar" värmeenergi i kristallen, etc. Vill man dock tala om värmeexpansion och liknande så måste man ta anharmonicitet med i beräkningarna - man lägger då till termer av högre ordning i potentialen och ser hur detta påverkar systemet.

Detta följer en vanlig strategi inom fysikalisk modellering: 1) vad är den enklaste modell vi kan använda, 2) hur kan vi lägga till en liten komplikation till den modellen, 3) en till, 4) osv...

http://xkcd.com/793/

Ja det är ju helt sant. Själv tycker jag att alla modellsystem ska börja med en ensam partikel i ett tomt universum. Resten är bara perturbationer.

Jag gillar när man går på djupet, eller härleder så långt bak man bara kan, t.ex. då Newtons lagar. Men jag vet inte vad en potential är. Men om jag tänker på ellära B från gymnasiet så är det en skillnad i spänning. Sedan är jag även bekant med potentiell energi. Skulle vara tacksam om du på ett väldigt grundläggande sätt kunde förklara vad en potential i detta fall innebär och vad kvadratisk i positionsvariabeln betyder. Det måste inte vara lättfattligt men i alla fall grundligt.

Alltså eftersom vi är nära noll så kan vi Maclaurinutveckla? Vad är potentialen för typ av funktion? Kan bara se en trigonometrisk just nu. Men då går det inte ihop i mitt huvud hur den specifikt får en andragradsterm vid serieutvecklingen. Det skulle ju lika gärna kunna vara en kubisk (se sinus)

Jag hänger inte med så mycket här heller tyvärr. Jag vet inte definitionen av en konservativ kraft. Jag har inte läst mekanik på eftergymnasiell nivå än.

Jag har börjat förstå detta faktiskt! Det är bra att få dessa ord sagda i min mun. Blir som en "ja just det, det visste jag ju fast ändå inte!".

Förklara gärna det ovannämnda.
Tack på förhand!

Elektrisk potential är spänningsskillnad.

Jag använder lite ful vektornotation som du får ursäkta. Om kraftvektorn F kan skrivas som "derivatan" (gradienten) av en skalärfunktion V så kallas V för potentialfunktionen till F. Vi definierar potentialen enligt

F = -grad V = (-dV/dx, -dV/dy, -dV/dz).

I en dimension har vi bara F = -dV/dx. Kraftfält som har en potentialfunktion kallas konservativa. Du kanske känner till att arbete är kraft gånger väg? Om kraften varierar med positionen så blir det totala arbetet som krävs för att föra en partikel från position 1 till position 2 en integral

W = ∫(-F)*(dx,dy,dz) = ∫(-(-grad V)*(dx, dy, dz) = ∫(dV/dx*dx + dV/dy*dy + dV/dz*dz) = V(x2,y2,z2) - V(x1,y1,z1).

Minustecknet kommer av att vi måste arbeta för att föra partikeln mot kraften som verkar på partikeln. Integralen ovan är en linjeintegral i tre dimensioner där vi har skalärprodukten av kraftvektorn F och det differentiella linjelementet dx blir oberoende av väg.

Poängen här är att arbetet som krävs för att föra en partikel från (x1,y1,z1) till (x2,y2,z2) ges av potentialskillnaden mellan punkterna. Arbetet beror bara på start och slutpunkt. Energin konserveras eftersom du kan få tillbaka den genom att gå tillbaka till startpunkten.

Exempel 1: Vid jordytan är gravitationskraften F = (0,0,-mg), och det existerar en potential V = mgz. Arbetet för att lyfta en partikel med massan m en sträcka z i vertikal riktning beror alltså inte på hur vi går mellan start och slutpunkt, utan enbart på sträckan mellan dem.

Exempel 2: Fjäderkraften för en ideal fjäder är F = (-kx,-ky,-kz) och potentialen blir V = k(x²+y²+z²)/2. Arbetet som krävs för att dra ut fjädern beror bara på slut och startpunkt, och inte om du drar den fram och tillbaka 15 gånger först.

Exempel 3: Coulombs lag säger att elektriska kraften på ett objekt med laddning q på x-axeln från ett objekt med laddning Q i origo är F = (kqQ/x², 0, 0). En potentialfunktion blir V(x) = kqQ/x. Notera nu att om vi plockar bort laddningen för objektet q så får vi den elektriska potentialen kQ/x från en laddning Q som alltså mäts i volt.

Exempel på icke-konservativa krafter ges av ex. friktionskrafter då vi förlorar energi. Här spelar det ju roll hur vi går mellan två punkter. Tänk att du drar ett block på ett bord. Ju längre väg du tar mellan två punkter, desto större arbete krävs. Du kan hitta på många kraftfält för vilka du inte kan hitta någon potentialfunktion.


Vi antar att potentialen är snäll så att vi kan serieutveckla den kring en minimipunkt som vi får enkelhets skull placerar i origo. I en dimension har vi

V(x) = V(0) + V'(0)*x + V''(0)x²/2 + ...

Vi kan nu omdefiniera nollpunkten för potentialen till V(0). Om vi har en minimipunkt i origo så är V'(0) = 0. Lägsta termen blir då andragradstermen. Sen är det förstås som du säger att andraderivatan kan vara noll också och då får vi som sagt inte en harmonisk potential. Helt rätt. Det var fel av mig att säga att alla potentialer då blir harmoniska - alla vars andraderivatan inte är noll borde jag sagt.


Se ovan.

Spektraluppdelning, t.ex med Fouriertransform, är ej identiska.

Fouriertransformen har den trevliga egenskapen att den är entydig, med entydig invers.

Samma ton på trumpet resp piano må ha samma grundfrekvens, men inte samma spektraluppdelning.

Ja just det, allt detta känner jag ju faktiskt till, fast inte på djupet. Men vi behandlade konservativa fält i flervariabelanalys. En delslutsats: Gravitation är då ett konservativt fält?

Bara F och dx? Inte även dy och dz? Men i övrigt är jag med på det matematiska.

A precis.

Skitbra exempel för jag fattar precis. Jag har aldrig arbetat med fysik i mer än en eller två dimensioner egentligen men jag har ju läst linjär algebra och flervariabel så det blir ändå inte speciellt svårt att applicera upp till 3. Har dock aldrig beskrivit potentialfunktioner dock har jag visat om ett fält är konservativt eller ej.

Perfekt. Jag fick ju inget fysikaliskt perspektiv på konservativa fält i och med flervariabeln, detta är mycket användbart för min förståelse. Skitbra!

Tackar så hjärtligt. Jag förstår allt, i alla fall allt du tagit upp. Ser fram emot att läsa mer fysik.

Vet ingenting om Fouriertransform egentligen.

Det är en väldigt trevlig egenskap. Då är alltså själva funktionen Fouriertransform en bijektion?

Kan du förklara spektraluppdelning på ett grundligt sätt?

Om du har en linjär transformation T i något vektorrum så kan den ju (ibland) diagonaliseras. När man gjort detta har man hittat en bas för sitt vektorrum. Vi kan byta till den basen och det vi får då är vektorer representerade i en bas som är egenvektor till T. Man kan under vissa förutsättningar göra samma sak för allmänna operatorer, även i oändligtdimensionella vektorrum. Om vi tar till exempel operatorn

Of = d^2/dx^2 f

i vektorrummet V av alla funktioner på [0,pi]så att \int_0^pi |f|^2 dx är ändligt och med villkoret att

f(0) = f(pi) = 0 (*)

så får vi egenfunktionerna genom att lösa

f'' = -k^2f

som om k^2 < 0 har exponentiella lösningar som inte uppfyller villkoret (*). Om k = 0 har den linjära lösningar, som inte heller kan uppfylla villkoret och om k^2 >0 får vi ju Asin(kx) + Bcos(kx). Men villkoret f(0) = 0 ger B = 0, och f(pi) = 0 ger k = heltal. Då kan vi alltså byta bas till

{sin x, sin 2x, sin 3x...}

och skriva alla funktioner i V i den basen. Spektraluppdelning innebär att vi tar ut komponenterna i den här basen.

Operatorn d^2/dx^2 får man när man löser vågekvationen. Eftersom en gitarrsträng är fix i ändarna har vi ett liknande randvillkor (man får skala om pi till strängens längd). Två gitarrer kan ha samma bas men komponenternas storlek skiljer sig åt, så att man kan höra skillnad mellan gitarrerna även om det är samma toner (de är olika starka). För andra instrument får vi andra randvillkor så att själv basvektorerna, alltså vilka toner man hör, blir annorlunda.