Stoppa in värde i potensserie? Inversen till (1-t)

Jag läser Abstrakt Algebra och på senaste föreläsningen kom vi fram till potensserier och polynom.

Då nämns att (1-t)(1 + t + t^2 + t^3 + t^4 + ... ) = 1
Dvs att polynomet (1-t) har en invers i potensserien (1 + t + t^2 + t^3 + t^4 + ... ) =: f

Om man stoppar in t=0 får man att 1*1 = 1, frid och fröjd. Men om man stoppar in t.ex. t=2 så får man -1 * oändligheten i vänsterledet. Vilket ju inte borde vara något problem och alltså ge -ändligheten.

Men minus oändligheten är ju inte lika med 1. Vad tänker jag för fel?! :O

En annan kul sak uppträder om man stoppar in t=-1. Då blir vänstra parentesen 2, och högra parentesen alternerar mellan 0 och 1 beroende på om man tar med ett jämnt eller udda antal termer. Totalt alternerar helt vänsterledet alltså mellan 0 och 2 och man skulle kunna tänka sig att medelvärdet ju är 1?!

ett gränsvädrde har inget medelvärde, det har ett intervall
lim sin x --->oä är -oä +oä

Det har med den geometriska serien och dess konvergensradie att göra. Antag att

s = 1 + t + t^2 + ... + t^n
st = t + t^2 + t^3 + ... + t^(n+1)
s - st = 1 - t^(n+1)
s*(1 - t) = 1 - t^(n+1)
s = (1 - t^(n+1))/(1-t)

Nu är alltså:

(1 - t^(n+1))/(1 - t) = 1 + t + t^2 + ... + t^n

Men om n -> oo måste |t| < 1 för annars blir det odefinerat, och om |t| < 1 så går t^(n+1) -> 0 och man erhåller:

1/(1 - t) = 1 + t + t^2 + ... + t^n

Därmed så för att (1 - t)(1 + t + t^2 + ... + t^n) = 1 ska gälla måste |t| < 1, dämred blir det korrekt. Mer detaljer finns i grundböcker i analys.

Va?

OK, men om man bara utför multiplikationen utan att tänka på konvergens, så får man ju resultatet 1. Det känns liksom inte som |t|<1 är ett krav där.

När man i abstrakt algebra talar om polynom och potensserier betraktar man dem formellt, inte som uttryck där variabeln antar ett reellt värde. Konvergens är därför inget som behöver beaktas.