varför är x^-n= 1/x^n

Tjeeena

har undrat ett tag varför x^-n= 1/x^n. Nån som vet?

x^-n= 1/x^n


Multiplicera bägge sidor med x^n

Du får då:

x^-n * x^n = 1

Applicera potensregeln a^b * a^c = a^(b+c):

x^-n * x^n = x^(-n+n) = x^0

x^0 = 1

Q.E.D

nvm nice

men varför är x^0=1 då?

Det beror på hur man definierar upphöjt till. Och det finns det många sätt att göra.

Jag tror att det moderna sättet är att man först definierar
att x^n=x*x*x (nggr) när n är ett positivt heltal.

Sedan definierar man att
e^x = 1+x+x^2/2+x^3/6 osv (dvs via sin taylorserie).

Ur detta kan man få att e^x * e^(-x) = 1. Det gör man genom att bara ta med ett ändligt antal termer från taylorserierna, och bevisa att felet går mot noll när antalet termer som tas med går mot oändligheten (dvs när man tar exakt e^x och inte bara en approximation)

Man definierar ln (e^x) = x

och x^n = e^(n ln x)
ur detta fås att x^(-n)=e^(-n ln x) = 1 / e^(n ln x) = 1 / x^(-n).
Man får att x^0=e^(0 lnx= 1 + 0 +0^2 / 2+ 0^3 / 6... = 1


Ett annat sätt att göra det på är att definiera att
x^n = x*x*x*x (n ggr) och sedan ta följande som axiom.

x^(m+n) = x^m * x^n (m, n rationella tal)
x^(mn) = (x^m)^n (m, n rationella tal)
Och att x^y definieras som gränsvärdet av x^(m/n) när m/n går mot y.

Det här systemet har det problemet att det inte är uppenbart att reglerna inte motsäger varandra. Dessutom generaliserar det inte lika väl till komplexa tal. Jag tror att det är därför man inte använder det annat än på gymnasienivå.

Ur dessa regler kan man visa att x=x^1=x^(0+1)=x^0*x^1=x^0*x . Om x inte är lika med 0 kan vi dela med x och få att x^0 = 1.

Principen bygger på att x^a/x^b=x^(a-b)

x^a/x^a=1=x^(a-a)=x^0

derivatan y^n=ny^(n-1)

1=1^1

om x=1
x^1
derivatan = 1*(1-1)=1

tack skillade svar D

Förstod inte riktigt im3w1ls svar men jag hoppas att förstår det senare :/