Residykalkyl, några uppgifter...

Jag ska beräkna residyn(z=a) på f(z)=tan(pi*z) för a = 0, +-1/2.

Hur gör jag?

Jag gjorde om den till sin(pi*z)/cos(pi*z)
För a= +-1/2 har ju cos(pi*z) ett nollställe så testade f1(z)/f2'(z) men då får jag ett och svaret ska vara 0?

Den andra är jag lost...


Har en till! Har en integraluppgift med residyer, hur beräknar jag residyn av z/((e^z-1)*sinz)

TACKSAM för svar. Hatar när jag inte förstår saker...

För det första har vi f(z) = tan(π·z) = sin(π·z)/cos(π·z). Eftersom f(z) är analytisk i z = 0 så är Res f(z) = 0 i denna punkt. För z = ±1/2 är cos(π·z) = 0 och vi har ett enkelt nollställe där (eftersom cos(π·z)' ≠ 0 i dessa punkter).

Givet f(z) = h(z)/g(z) där g(z₀) = 0 och g'(z₀) ≠ 0 är Res f(z) = h(z₀)/g'(z₀) i denna punkt.

Res tan(π·z) = sin(π·z)/(-πsin(π·z)) = sin(π/2)/(-π·sin(π/2)) = -1/π i z = 1/2
Res tan(π·z) = sin(π·z)/(-πsin(π·z)) = ... = -1/π i z = -1/2

Angående f(z) = z/((e^z - 1)·sinz), i vilka punkter behöver du residyn? Funktionen har nämligen en del singulariteter att ta hand om.

Tack! Hur i helvete kan jag missa inre derivatan?! :P

Ah just det, glömde det med:
Området ges av |z|=4

Tack!

f(z) = z/((e^z - 1)·sinz) har nollställen av olika karaktär i z = π·n och innanför konturen |z| = 4 är dessa z = 0, ± π (för exempelvis 2π > 2·3 = 6 så denna ligger klart utanför).

I z = 0 är e^z - 1 = 0 och sinz = 0, men så även täljaren z = 0. Här tror jag på serieutveckling.

z/((e^z - 1)·sinz) = z/((1 + z + z²/2 + O(z³) - 1)(z - z³/6 + O(z⁵))) =
z/((z + z²/2 + O(z³))(z - z³/6 + O(z⁵)) = z/(z² + z³/2 + O(z⁴)) = 1/z·(1 + z/2 + O(z²))

1/(1 + z/2 + O(z²)) = (1 + z/2 + O(z²))⁻¹ = 1 - 1·(z/2 + O(z²)) + O(z²) = 1 - z/2 + O(z²)

Alltså är 1/z·(1 + z/2 + O(z²)) = (1 - z/2 + O(z²))/z = 1/z - 1/2 + O(z) och vi ser att Res [z = 0] z/((e^z - 1)·sinz) = 1.

Vad gäller de andra två så gäller sinz = 0 emedan (sinz)' ≠ 0 vilket innebär att vi har enkla nollställen där, vilket ger oss enkelpoler.

Res [z = π] f(z) = z/(e^z - 1)·1/(sinz)' |z = π = z/((e^z - 1)·cosz) |z = π = π/((e^π - 1)·cosπ) = π/((e^π - 1)·-1) = π/(1 - e^π).

Motsvarande beräkning av enkelpolen kring z = -π ger π·e^π/(1 - e^π).

tack så mycket! Det är otroligt vad du kan!

Har dock en fråga, ser inte hur du får ihop omskrivningen:

(1 + z/2 + O(z²))⁻¹ = 1 - 1·(z/2 + O(z²)) + O(z²) = 1 - z/2 + O(z²)

resterande är solklart nu, tack så hemskt mycket!