Bestämd integral till sin(x) / x

Hej!

Jag försöker integrera sin(x) / x utan att komma någon vart alls. Partialintegration funkar inte, ingen substitution jag kan komma på fungerar. Enligt Google måste den utvecklas till en oändlig serie, vilket låter omständigt.

Kan man istället tänka sig någon slags approximation? Jag vill hitta den bestämda integralen från 0 till (1/2). Självklart kan man skissa grafen punkt för punkt, och sedan uppskatta arean geometriskt, men det borde rimligen finnas ett finare, mer matematiskt, sätt att ta sig an problemet.

Någon som vet hur, eller har någon idé?

Finns ingen primitiv funktion till sinx/x, så en approximation är den bästa vägen att gå.

sinx ≈ x - x³/3! och inom gränserna 0 → 1/2 får vi:

∫ sinx/x dx ≈ ∫ (x - x³/6)/x dx = ∫ (1 - x²/6) dx = ... = 71/144 = 0.49305...

∫ sinx/x dx = 0.49310...

Vi får alltså redan vid 3:e ordningens MacLaurinutveckling en god approximation. För att undersöka hur stort felet är kan använda Lagranges restterm.

Sinc-funktion och sine-integral:

http://mathworld.wolfram.com/SincFunction.html
http://mathworld.wolfram.com/SineIntegral.html

Det kan tilläggas att en numerisk lösning (mha wolfram alpha) ger 0.49310, så din approximation stämmer mycket väl.