Citat:
Ursprungligen postat av CRAZIE
3) Visa att |Sin x + 2cos x| <=SQRT(5)
|sin(x)+2cos(x)| ≤ √5 ⇔
-√5 ≤ sin(x)+2cos(x) ≤ √5
Vi kan göra en trigonometrisk omskrivning.
Alltså kan vi skriva om den allmänna ekvationen:
a·sin(x)+b·cos(x)
på formen
c·sin(x+v)
Där c är amplituden och v är vinkelförskjutningen. Detta är möjligt om och endast om a och b är positiva. Och vi ser att så är fallet!
Varför gör vi denna omskrivning? Jo för att då kan vi direkt se amplituden genom att titta på värdet på c. Jag skall nedan försöka bevisa, eller i alla fall härleda att man verkligen kan skriva om a·sin(x)+b·cos(x) på formen c·sin(x+v). Uppgiften är löst direkt när vi vet värdet på c. För när c är känt är max och min direkt kända.
Sats:a·sin(x)+b·cos(x) ≡ c·sin(x+v)
Där a,b,c = icke negativa heltal.
Där v är ett vinkelfält mellan 0 och π/2 radianer.
Bevis:{y = a·sin(x)+b·cos(x)
{y = c·sin(x+v)
⇔
Additionsformeln på andra ekvationen ger
{y = a·sin(x)+b·cos(x)
{y = c·sin(x)cos(v)+c·sin(v)cos(x)
Vi ser då att dessa ekvationer är identiskt lika om och endast om.
{a = c·cos(v){b = c·sin(v)
Kvoten b/a är alltså
b/a = c·sin(v)/c·cos(v) = sin(v)/cos(v) = tan(v) ⇔
v = arctan(b/a)
Nu kan vi kvadrera ekvationerna.
{a² = c²·cos²(v)
{b² = c²·sin²(v)
⇔
a²+b² = c²·cos²(v)+c²·sin²(v)
⇔
a²+b² = c²·(cos²(v)+sin²(v))
⇔
a²+b² = c²
⇔
c = √(a²+b²)
Alltså:a·sin(x)+b·cos(x) ≡ c·sin(x+v) ≡ √(a²+b²)sin(x+arctan(b/a))
VSB.
I vårt fall har vi att:sin(x)+2cos(x) ≡ √(1²+2²)sin(x+arctan(2)) = √5·sin(x+arctan(2))
Vi ser här enkelt att amplituden är √5. Då är maxvärdet √5 och minvärdet -√5.
Klar.
