Talteoriuppgifter

Uppg 1: För vilka heltal a finns heltal x sådana att
a. ax≡1 (mod 6)
b. ax≡1 (mod 7)
c. ax≡1 (mod 10)


Uppg 2: Visa att om n är ett heltal sådant att 45|n² så gäller att 15|n.

Uppg2:

Talet n har en unik primtalsfaktorisering (p1 p2 p3...)
n² har då primtalsfaktorerna (p1² p2² p3²...)

Alla tal n² som är delbara med 45 har nödvändigtvis 3^2 och 5^2 i sin primtalsutveckling

Således är alla tal n delbara med 15. vsv.

1. Börja med att lösa ekvationssystemet

y≡1 (mod 6)
y≡1 (mod 7)
y≡1 (mod 10).

Använd t.ex. metoden som beskrivs på http://en.wikipedia.org/wiki/Chinese_remainder_theorem under "A constructive method to find the solution".

positivisten: Utmärkt, tack!

dbshw: Ah, just det. Kinesiska restsatsen funkar kanske på den uppgiften. Det är dock inget man nämner i denna kursen. Jag fick veta att man kan ställa upp multiplikationstabeller i mod 6,7 och 10 och därefter helt enkelt läsa av i tabellen var det fanns ettor. I multiplikationstabellen för mod 6 finns ettor i första (1×1) och femte (5×5) raden, vilket därför ger svaret a=1+6n och a=5+6n, n ∈ Z. Sätter man in detta i (a) får man (1+6n)x≡1 (mod 6) för x=1, och (5+6n)x≡1 (mod 6) för x=5, vilket verkar rimligt. I mod 7 dyker det upp ettor i alla rader, vilket ger sju olika a. Detta verkar ha att göra med att 7 är ett primtal. Hur som helst, tack för svaret!