Vektoranalys kurv integral

Vektorfältet A(x,y)=(y^3/3 - 2xy + 4y, -x^3/3 + 4xy) är givet, bestäm den slutna kurva gamma i xy planet som gör att linjeintegralen över gamma av A*dr, tagen ett varv i positiv led, blir så stor som möjligt.

Hur kan man göra detta? Jag tänkte på Greens eftersom dubbelintegralen av det som gamma innesluter är samma sak som det som den där linjeintegralen men jag kan inte komma på hur ja ska göra.

Greens formel är rätt. Du vill alltså hitta det område D så att ytintegralen av (∂Q/∂x - ∂P/∂y) över D blir så stort som möjligt.

Fundera nu på var detta uttryck (∂Q/∂x - ∂P/∂y) är positivt, och var det är negativt. Vad säger detta oss om hur vi ska göra för att maximera ytintegralen av den, när vi får variera området?

Jag förstår vad du menar, ∂Q/∂x - ∂P/∂y är ju såklart positivt när ∂Q/∂x > ∂P/∂y och vice versa men hur kan jag använda det till att bestämma kurvan?

Om vi säger såhär då.

Säg att vi vill hitta ett intervall [a, b]

∫[från a till b] (1 - x²) dx

är så stort som möjligt.

Hur gör vi? Jo ett sätt att tänka är att inse att varje liten bit som ingår i intervallet [a,b] och där integranden är negativ bidrar till att integralen går nedåt, ty om vi tar bort den så ökar ju integralen, i och med att det negativa bidraget från den lilla biten tas bort. På samma sätt så gör varje liten bit där integranden är positiv så att integralen blir större.

Så för att maximera integralen vill vi ha så många bitar där integranden är positiv som möjligt, och så få där den är negativ.

Applicera samma resonemang på ditt problem.

Så vi vill att P är negativ och Q positiv antar jag. Men hur kan jag bestämma en specifik kurva? Jag förstår verkligen inte hur detta ska lösas även om jag förstår det du skriver...

Nej, det har ingenting med saken att göra.


Börja med att bestämma området D som kurvan omsluter.

Du är med på att det är ekvivalent (som problemet) att bestämma D sådant att

∫_D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dx dy

blir så stort som möjligt? (Där P här är y^3/3 - 2xy + 4y, och Q är -x^3/3 + 4xy).


I så fall så kan vi koncentrera oss på att lösa detta problem istället.

För att maximera denna integral, så vill vi att D ska innehålla så många områden som möjligt där (∂Q/∂x - ∂P/∂y) är positivt, och så få som möjligt där (∂Q/∂x - ∂P/∂y) är negativt. Är du med på varför det är så?

Så då är det förstås bra att ta reda på exakt när (∂Q/∂x - ∂P/∂y) är negativt och när det är positivt. Skissa ett diagram för dessa områden! Sen är det bara att försöka få med så mycket som möjligt av det positiva området i D, och så lite som möjligt att det negativa.

Alright, det börjar klarna. Ska skissa lite och återkommer om jag fastnar!

Jag gav mig på en uppgift som såg något lättare ut. Vektorfältet är (y^3 - 6y, 6x - x^3) och jag ska bestämma den kurva i halvplanet y >_ 0 mellan (1,0) och (-1,0) där kurvintegralen är som störst.

∂Q/∂x - ∂P/∂y = 12 - 3x^2 - 3y^2 >_ 0 <=> x^2 + y^2 _< 4 dvs kurvan är x^2 + y^2 = 4.

Är detta rätt tänkt?