hjälp med fysiken! räkna ut jordens massa!

Uppskatta ett värde på jordens massa då man vet följande: Månens omloppstid runt jorden är ca 4 veckor.

Är inte avståndet jord-måne givet i uppgiften?

Jo glömde skriva, det är 38000mil.

Med de givna värderna kan du beräkna månens medelhastighet (2πr/t). Denna hastighet låter dig beräkna månens centripetalkraft (mv^2/r) som är ekvivalent med gravitationskraften. (Glöm inte att använda SI-enheter)

Lös ut jordens massa (M) ur Newtons gravitationslag och sätt in dina värden i formeln för att få fram ditt svar. (Detta förutsätter dock att du även vet månens massa)

F=GMm/r^2

Nej, du behöver inte känna till månmassan.

Inte? Visa hur du skulle lösa uppgiften då

Låt oss idealisera en aning och anta att månen rör sig i en cirkelbana (med radien r) kring jorden (som antas fix).
m = månmassan, M = jordmassan (sökt); båda antas ha sfäriskt-symmetriska massfördelningar.

Kraftlagen (Newtons 2:a), F = ma, för månen ger med
a = v²/r och F = GmM/r² (enligt gravitationslagen)

GmM/r² = mv²/r => M = v²r/G ... (*)

- fortsätt genom att sätta v = 2pi*r/T, där T är omloppstiden.

Reservation: Släpper vi kravet "fix jord" och betraktar jord-måne som ett strikt tvåkropparproblem får vi i stället för (*)

m+M = v²r/G.

Men eftersom TS nöjer sig med en uppskattning av M bör (*) duga (m ≈ 0.0123M).

Ah, månens massa som befinner sig i både HL och VL tar ut varandra

Ja, redan Galileo insåg att rörelse i jordens tyngkraftfält ej beror på den fallande kroppens massa. - En generalsering av denna erfarenhet, den s.k. ekvivalensprincipen, kom att utgöra en av hörnstenarna i den allmäna relativitetsteorin.

men alltså det stora M:et i formeln gäller det för den största himlakroppen eller är det alltid jordens massa ?

Förutsatt att m << M, gäller formeln bra för rörelse kring "normala" himlakroppar (mindre bra för rörelse kring neutronstjärnor och svarta hål).

Med hjälp av ekv (*) kan man t.ex. "väga" planeten Mars (massa M) genom att studera marsmånen Deimos rörelse. Eftersom det är lättare att avläsa månens omloppstid T än banfarten v = 2pi*r/T används då i regel uttrycket M = (2pi*r/T)²r/G = 4pi²r³/(GT²).

Detta senare uttryck gäller dessutom (enl Keplers 3:e lag) för elliptiska banor om man ersätter r med ellipsens halva storaxel a. För sådana banor gäller alltså

M = 4pi²a³/(GT²),

vilket ger oss ett - sedan länge använt - verktyg för att bestämma massor för himlakroppar.