Tan, cos, sin.

Kom att tänka på en sak gällande dessa, speciellt i relation till enhetscirkeln.

Är i lite av ett förvirrat tillstånd då saker som dessa inte tas upp i gymnasiet, utan vi får ju bara formlerna.

Är det inte så, att när man räknar ut tan, cos, sin för en triangel, oavsett vinkel eller hypotenusans längd, så gör man egentligen om triangeln till en där hypotenusan är 1 l.e.

Säg cos = 5/2, 2 är ju längre en 1 och kan därmed inte ge en koordinat i enhetscirkeln ty radien är max 1, tack vare likformighet kan vi dock söka en ny triangel där hypotenusan är 1. Vi får ekvationen

5/2 = (vår nya närliggande sida, d.v.s x-koordinat) / (1, som är vår nya hypotenusa).

Alltså: 5/2 = x/1, vilket är 5/2 då x/1 är x = > x = 5/2.

Så därmed är cos V = 5/2.

När man handskas med tan så är det ju trevligt att inse att detta händer, då då måste man ju "skala" ner triangeln för att få ut sin v eller cos v så att triangeln av dessa ryms inuti enhetscirkeln.

Är det rätt resonerat? Måste få det avklarat, kanske är uppenbart men som sagt, orkar inte gå runt och bara tro att något är rätt. Måste veta!

Man gick visst igenom relationerna?

Självklart gick vi ju igenom att man delar närliggande med hypotenusan för cos, och så vidare. Men det är ju inte de relationerna jag pratar om. Utan mer vad som egentligen händer, eller gick ni igenom något mer? Berätta gärna i så fall! Vad tycker du om det jag skrev?

Har kvar böckerna från mitt tekniska basår, de tre trigonometriska relationerna/begreppen tan, cos och sin tas upp först i matematik D. Där det i princip endast visas att Sin v = a/c, cos v = b/c samt tan v = a/b. Inget mer.

Du menar att cos v = 5/2 för något v? Om vi arbetar i reella fallet så måste jag bara fråga hur detta går ihop? abs(cos v) <= 1 för alla reella v. (abs = absolutbeloppet).

Rita upp din triangel med närliggande katet = 5 cm och hypotenusan = 2 cm. => icke rätvinklig triangel. Slutsats?..

Inte alls.

I Ma A tas definitionen av sin,tan och cos upp. Då visar man, som du säger, endast sin(v) = a/c osv osv. Jag kan garantera dig att din lärare tog upp det mer än så. Egentligen handlar det bara om definitionsmängden för v. Vill man utöka den så bör man introducera enhetscirkeln.

I Ma A så kan v endast vara mellan 0 och 90 grader.

Ja det var ju ett hjärnlöst exempel, säg cos v = a/b istället.

Men med det rättat, vad tänker du om mitt resonemang?

Står ingenting om de trigonometriska sambanden i min "Nya delta kurs A och B" bok.

Men jag önskar inte diskutera när trigonometri introducerades, vad tänker du om det jag sade?

Hittade en länk där en "doctor Aaron" faktiskt tog upp det jag pratar om.

"We could generalize this to say that the circle of radius r describes the
collection of all triangles with hypotenuse of length r, but any
right triangle is similar to some right triangle with hypotenuse
length 1, and 1 is such a nice number to have in the denominator,
that we restrict ourselves to the unit circle."

http://mathforum.org/library/drmath/view/53944.html

Menar han inte detsamma som jag sade, att tack vare likformighet så skalar vi ner triangeln vi önskar använda t ex cos v "på". T ex, om cos v = a/b, blir vår x koordinat x = a/b istället för a.

Återigen, när man handskas med tan så är det ju trevligt att inse att detta händer, då då måste man ju "skala" ner triangeln för att få ut x,y koordinaterna som skall vara mindre än 1.

Alltså det jag vill åt, eller få medhåll om, är just att man automatiskt skalar ner varje given triangel (rätvinklig), att radien är 1 i enhetscirkeln p.g.a. praktiska skäl förstår jag.

Alltså menar du att du vill se en rätvinklig triangel i enhetscirkeln? Det känns det smidigare att bara se cos v som x-koord och sin v som y-koord (som du skriver, detta medför ju dock att hypotenusan är 1 om vi skapar denna triangel vilket är vad du är ute efter).

Nja, det menar jag inte. Alltså, egentligen ville jag med denna tråd enbart kontrollera om mitt resonemang är korrekt, d.v.s. få medhåll om min trådstart.

Visst är det såklart smidigare att bara se cos v som x-koord o detsamma med sin v, det gör jag även också ur ett mer vardagligt perspektiv. MEN, för att det är möjligt att göra, så måste man ju för alla rätvinkliga trianglar med en hypotenusa större än ett, skala ner dem så att det faktiskt går att göra så. Likaså måste man skala upp de som har en hypotenusa mindre än ett.

Tar några random exempel.

Mindre än ett:

Cos v = 0.5/0.8, se denna triangel nu, hypotenusan är alltså 0.8 och inte 1 som den är i enhetscirkeln. Vi skalar alltså upp den genom att:

0.5/0.8 = x/1 (där x är vår x-koord, 1 är vår nya hypotenusa). "Uppskalningen" beror ju då .pg.a. 0.5/0.8 > 0.5.

Denna ekvation får ju då att x = 0.5/0.8, vilket alltså är vår x-koordinat, därmed säger vi att cos v = 0.5/0.8.

Större än ett:

Sin v = 3/6, återigen så passar ej heller denna triangel i enhetscirkeln då båda den motsatta sidan och hypotenusan är större än 1. Så per automatik, för att få en y-koordinat mindre än eller lika med 1 så skalar vi ner den.

3/6 = 1/2 = y/1 = > y = 1/2 => sin v = 1/2

Du verkar förstå vad jag menar. Och som sagt, egentligen behöver man väl inte tänka på det här, det sker ju utan att man behöver bry sig om det om man helt enkelt använder formlerna...

Nej det är inte alls säkert att den är 0.8. Du kan inte avgöra det med den informationen. Du kan bara veta vinkeln i triangeln.

Tänk på att:
Cos v = 0.5/0.8 = 0.625/1. x-koordinaten är alltså 0.625, y-koordinaten kan vi finna genom pythagoras sats.

Du tänker lite galet tyvärr.

Men som du säger så skulle det kunna vara så att hypotenusan är 0.8.

Du verkar kunna dina saker, tyvärr så ser jag fortfarande inte varför jag har fel

Jag menade i mitt exempel att vi faktiskt HAR en triangel, vars hypotenusa är 0.8 och närliggande katet = 0.5. Det är information vi har. Vinkeln, vilken den nu är, ger att cos v = 0.5/0.8. Ca 51 grader blir det enligt räknaren.

För att kunna representera denna information, i enhetscirkeln, då måste vi ju skala ner den? Tack vare likformighet kan vi ju faktiskt göra detta. Därmed får vi ekvationen som du skrev:

Cos v = 0.5/0.8 = x/1 = (vår nya närliggande katet(x-koord))/(vår nya hypotenusa vars värde är 1) = 0.625/1.

"Uppskalningen" har alltså lett till att hypotenusan gått från 0.8->1, närliggande katet 0.5->0.625.

X och Y värdena i enhetscirkeln är ju kvoterna/förhållandena mellan vardera katet och hypotenusan, dessa kvoter finns ju kvar p.g.a. att man "skalar" ner dem till en sådan triangel att de delas just med 1. X och Y värdena är ju inte de faktiska längderna på kateterna i trianglarna vi behandlar (såvida inte hypotenusan är 1).

Om man vet att Cos v = 0.5/0.8, då kan man väl då ta fram oändligt många trianglar som uppfyller det? Så länge förhållandet mellan närliggande katet och hypotenusa är just 0.625. Apropå det du sade om att jag inte kan veta hypotenusans längd med den informationen. Om Cos v = 0.625, så är väl alla trianglar som har närliggande katet = 0.625*K och hypotenusa K, korrekta?

Ex om vår hypotenusa är 5, så är närliggande katet då 0.625*5, Cos V = (0.625*5)/5 = 0.625.

Väldigt uppskattat om du/ni orkar hjälpa mig lite här. Jag tror nämligen fortfarande på det jag säger, vilket inte känns bra med tanke på att ni hävdar motsatsen.

Edit***

Hittade följande text

"Be aware that, although the example above seems to indicate otherwise, the values for the trigonometric ratios depend on the measure of the angle, not the measures of the triangle's sides. "

http://library.thinkquest.org/20991/alg2/trig.html

Antar att det är vad du menar? Förklara gärna!

Är det så att sin, cos & tan är funktioner definierade i enhetscirkeln, och därmed är alltid hypotenusan 1, underförstått? Även om man ser på en triangel med en hypotenusa > 1.