När vet man att båda lösningarna till en andragradsekvation satisfierar?

Jag löste nyss en andragradsekvation:
(ln x)*(ln x) - (ln x)(ln2ln3)/(ln4) = 0

Jag via pq-formeln fram 1 och sqrt(3).

Man har inte direkt lust att testa ifall sqrt(3) satisfierar den ursprungliga ekvationen (utan räknedosa). Det går, men det är jobbigt.

Hur kan jag veta att båda lösningarna satisfierar utan att behöva testa? Är det exempelvis så att rötterna till andragradsekvationer av logaritmer som fås ut av pq-formeln alltid satisfierar så länge som de är positiva?

Om så, varför är det så? Vad mer är det som jag inte vet?

Mvh

Jag antar att du har räknat rätt. När man löser andragradsekvationer är det ett par saker man måste hålla reda under lösningsgången: 1. Division med noll är förbjudet. Har du tex uttrycket 1/(x-1) i din grundekvation, och sedan får ut att en lösning är x=1, så vet du att den är falsk, ty det blir division med noll i grundekvationen.

Det andra är att dina lösningar måste vara definierade för de funktioner som ingår i grundekvationen. I det här fallet har du logaritmiska funktioner. Då gäller det att x aldrig kan vara så att det som står innanför ln-uttrycket blir mindre än eller lika med noll.

När vet jag att jag inte behöver testa lösningarna mot ursprungsformeln? Ett sätt att sålla bort lösningar är ju så som du sa. Hur vet jag dock att lösningarna som "inte faller bort" på det sättet, är korrekta, utan att behöva testa dem?

Det enda sättet är att alltid vara nogrann med för vilka värden på x, en ekvation är definierad.

Har vi tex ln(x-1)=2
Då vet vi att ekvationen endast är definierad för x strängt större än 1.
Har vi istället sqrt(x-1)=2
vet vi att ekvationen endast är definierad för x större än eller lika med 1.

I början får man skriva upp för vilka värden x är definierat, och sedan får man se till att hålla kvar de kraven genom hela ekvationslösningen. Gör man inget fel, så kommer de lösningar man får fram att vara korrekta. Det är dock ändå alltid ett tips att sätta in lösningarna för att se (tråkigt att missa tentapoäng på något sådant... )

Jag kommer inte på något annat fall iaf där man kan få falska lösningar, annat än division med noll, eller att en funktion, som ln, inte är definierad.