Visa att arctan [] = []

A) Visa att arctan(2/3) = ½ arctan(12/5)

B) Sätt y = arctan x. Visa att cos² y = 1 / (1 + x²)

C) Visa att arccos [ (1 + x²)^(-1/2) ] = arctan |x|, x reellt


Hur löser man dessa? Skulle behöva det förklarat utförligt.

Mvh

På den första kan man göra såhär exempelvis, först lite förarbete:

sin2v = 2cosv·sinv
cos2v = cos²v - sin²v ⇔ cos²v = (cos2v + 1)/2

Vi får av tan(v) = sin(v)/cos(v) = (sin(2v)/(2cos(v))/cos(v) = sin(2v)/(2cos²(v)) = sin(2v)/(cos(2v) + 1)

Vilket alltså ger oss att tan(v/2) = tan(1/2·v) = sin(v)/(cos(v) + 1).

tan(arctan(2/3)) = 2/3
tan(1/2·arctan(12/5)) = sin(arctan(12/5))/(cos(arctan(12/5)) + 1)

Inför vi en hjälptriangel med motstående katet 12 och närliggande 5 får vi alltså hypotenusan √(5² + 12²) = 13 och hjälper oss att skriva om problemet:

sin(arctan(12/5))/(cos(arctan(12/5)) + 1) = sin(arcsin(12/13))/(cos(arctan(5/13)) + 1) =
(12/13)/(5/13 + 1) = ... = 2/3

Utifrån detta, motivera resonemanget med egenskaperna hos arcus tangens och tangens.

Additionssatser för trigonometriska funktioner: https://www.flashback.org/t1443753

B visa att cos² y = 1 / (1 + tan²(y)). ersätt först tan²(y)=sin²(y)/cos²(y)

C arccos [ (1 + x²)^(-1/2) ] = arctan |x| både högerled och vänsterled är differentierbara för x != 0 samt kontinuerliga, så om VL betecknas g(x) och HL betecknas f(x) räcker det att visa att f'(x)=g'(x) om x != 0 samt f(0)=g(0).

Tar metoden härifrån: https://www.flashback.org/p4129066#p4129066

arctan u + arctan v = arctan((u + v)/(1 - uv)) + nπ, n heltal

Sätt u=v=2/3 => 1-uv = 5/9 => (u + v)/(1 - uv) = 12/5 =>

=> 2 arctan 2/3 = arctan(12/5) + nπ

Funktionen f(x) = arctan x är kontinuerlig, strängt växande och bijektiv för alla reella x.
Heltalet n kan bestämmas entydigt.

VL: 0<2/3<1 => 0 = arctan 0 < arctan 2/3 < arctan 1 = π/4 => 0 < VL < π/2
HL: 0<12/5<∞ => 0 = arctan 0 < arctan 12/5 < lim{x→∞} arctan x = π/2 =>
=> 0 < arctan(12/5) < π/2

Därav följer n=0, och alltså: 2 arctan 2/3 = arctan(12/5) => arctan(2/3) = ½ arctan(12/5)