Integral: 3-dimensionel med begränsning utav klot samt kon

Hej!

Jag har lite svårt att förstå hur man tar fram integrations områden när det kommer till begränsning utav 2 olika "kroppar" i detta fall som jag kan komma med på rak arm som är enkelt är ett klot och en kon.

Klotets funktion är

x^2+y^2+z^2 <= 1

Konens funktion är

sqrt(x^2+y^2) <= z

Explicit det jag vill veta är:
Hur jag med beräkningar tar fram integrations områdena för vinkeln ifrån Z axeln.

Eftersom att jag vet att radien är sqrt(1) = 1 och rotationen kring xy-planet är 2pi i detta fall(Inte 100% på vilken av axlarna den roterar runt i skrivandets stund så skrev xy-planet.)

Men jag har INGEN anning om hur jag får fram vinkeln som jag får fram genom begränsningen utav konen.

MVH

Anti1234

Byt till rymdpolära koordinater:

x = rcosφsinθ
y = rsinφsinθ
z = rcosθ

Vi har området:

x² + y² + z² ≤ 1
√(x² + y²) ≤ z

Sätter vi i de rymdpolära koordinaterna får vi:

r² ≤ 1
√(r²sin²θ) ≤ rcosθ

Gäller endast då 0 ≤ θ ≤ π/2. Detta ger:

r ≤ 1
sinθ ≤ cosθ

Integrationsområdet för blir alltså 0 ≤ θ ≤ π/4, 0 ≤ r ≤ 1 och 0 ≤ φ ≤ 2π.

√(r²sin²θ) ≤ rcosθ

Förstår att det har med konen att göra, men vart tog substitutionen utav x^2 vägen?

√(x² + y²) ≤ z ⇔ √(r²cos²φsin²θ + r²sin²φsin²θ) ≤ rcosθ ⇔ √(r²sin²θ) ≤ rcosθ

it all makes sense now!!! haha, man tackar och tar emot! Jag såg alltid konen i polära koordinater av någon anledning och inte rymd polära

Tackar!