Härledning

Hej!

Jag skulle behöva hjälp med följande uppgift.

Hitta inversen till sinh(x) (dvs y=(e^(x) - e^(-x))/2).

Tack på förhand!

erikrullar

Låt y = (e^(x) - e^(-x))/2 och sätt e^x = t och märk väl att t > 0.

y = (t - 1/t)/2 ⇔ 2y = t - 1/t ⇒ 2y·t = t² - 1 ⇔ t² - 2y·t - 1 = 0

Denna andragradsekvation har lösningarna t = y ± √(y² + 1) men eftersom t > 0 så är den entydiga lösningen t = y + √(y² + 1). Därmed får vi att e^x = y + √(y² + 1) och då att x = ln(y + √(y² + 1)). Vi kan nu definiera:

sinh⁻¹(x) ≡ ln(x + √(x² + 1))

y = sinh(x) = 1/2 ((e^x)-(e^-x))

y*y = y^2 = 1/4 (e^2x - 2 + e^-2x)

y^2 + 1 = 1/4 (e^2x + 2 + e^-2x) = cosh^2(x)

sqrt(y^2 + 1) = cosh(x)

cosh (x) + sinh(x) = 1/2 (2 e^x + 0) = e^x

x = ln(cosh(x) + sinh(x)) = ln(sqrt(y^2 + 1) + y)

Bah, snyggare och snabbare.