Kvadrat inskriven i ellips

Har inget svar på uppgiften och är därför osäker på om jag har rätt. Kan säkert vara något slarvfel i uträkningen, men jag vill gärna veta om jag har tänkt rätt, eller om det har blivit helt galet i från första början.


rektangelns area begränsas av den övre delen av kurvan och x-axeln. Arean fås då av

A(x,y) = 4xy

Vi löser ut x ur ellipsens ekvation och får

x = sqrt(a^2b^2 - a^2y^2)/b

Totala arean blir då

A(y) = 4y/b*sqrt(a^2b^2 - a^2y^2)

0 = dA/dy = 4y/b*1/2*(-2ya^2)*(a^2b^2 - a^2y^2)^(-1/2)

4/b*sqrt(a^2b^2 - a^2y^2) = 2y/b*2ya^2 / sqrt(a^2b^2 - a^2y^2)

a^2b^2 - a^2y^2 = 4y^2a^2 / b

b^2 = 2y^2

y = b/sqrt(2)

Insättning i funktionen ger

A(b/sqrt(2)) = 2ab a.e

Som sagt vet jag inte om jag har tänkt rätt från början. a och b är ju inga variabler som kan fås ur rektangelns geometri vad jag vet, däremot ur ellipsens geometri. så det går säkert att göra på något bättre sätt.

Du verkar inte ha skrivit av hela uppgiften. Är det så att man ska maximera arean för den inskrivna rektangeln ifråga?

Om så så tycker jag du har gjort rätt.

En annat sätt att lösa, som bygger mer på att man transformerar för att få ett enklare problem:

Kalla ellipsen för E, rektangeln för R.

Säg att vi skalar ned hela figuren med en faktor a i x-led och faktor b i y-led. Efter nedskalningen blir E en annan figur, kalla den E'. R blir en annan rektangel, kalla den R'. Faktum är att E' bara är enhetscirkeln.

Nu så är

Area(R) = ab * Area(R')

och bivillkoret att R ska vara inskriven i E är ekvivalent med att R' ska vara inskrivet i E'.

Alltså är vårt problem ekvivalent med att maximera arean hos en rektangel R' inskriven i enhetscirkeln E'. Det är inte svårt att visa att maximum ges när R' är en kvadrat, och med Pythagoras får man då lätt att sidan på kvadraten är √2. Alltså är R':s maximala area 2, och alltså är R:s maximala area 2ab.

Okej. Ja det var ju en ganska smart lösning. Skall lägga den på minnet!

Om jag transformerar en godtycklig geometrisk figur E i x- och y-led med a respektive b till figuren E'; gäller ab*Area(E')=Area(E) för alla figurer?

Samt, går det att uttrycka till exempel hur båglängden förändras på en cirkelbåge om vi transformerar denna i x- och y-led?

Arean av figuren är ju dubbelintegralen av 1 dxdy över området. Om du transformerar med den linjära transformationen [x' y'] = [1/a 0; 0 1/b][x y] blir dx'dy' = 1/(ab) dxdy vilket är en konstant. Därmed blir \iint_E 1 dxdy = ab\iint_E' 1 dx'dy'.

Fint, tänkte inte på det. Tackar sp3tt.

Inte på något enkelt sätt. I allmänhet går inte ens ellipsens båglängd att skrivas bara med elementära funktioner.

När jag såg titeln tänkte jag att det var en annan fråga som lät intressantare. Så, hur skulle man göra om man verkligen ville veta vad den största kvadraten är som kan bli inskriven i en ellips? Jag har inte funderat på det så mycket, vet inte om det är enkelt eller svårt.

Edit: Det borde såklart vara ekvivalent med att räkna ut största arean för en rektangel med samma förhållande i en cirkel. Det kan ju inte vara så svårt däremot. Eller?

Edit2: Nu kom jag på hur man gjorde, var inte så mycket svårare än ursprungsuppgiften.

Misstänkte det. Tack för svaret.