Rationell funktion - extrempunkter

Dags att igen be om lite matematisk expertishjälp här på Flashback!

Uppgift:
Bestäm eventuella extrempunkter till funktionen f(x)=(x^2-3)/(x-2).

Har letat runt efter tips på nätet samt läst i läroboken under ett par dagar för att försöka lista ut hur man ska lösa det men det går rätt trögt. I läroboken finns få exempel och de som finns tar också upp asymptoter. Verkar krävas ganska många delmoment och jag känner mig osäker på vilka man behöver ta till i denna uppgift.

Att räkna ut extrempunkter på vanliga polynomfunktioner har jag inga problem med men då det handlar om rationella funktioner känns det betydligt mer komplicerat. Är mycket tacksam ifall någon har lust att visa upp en lösning så man kan försöka snappa upp nånting iaf.

Peace

Asymptot får du där funktionen inte är definerad. I detta fall där x=2 eftersom nämnaren hos f(x) då blir noll.

För att hitta extrempunkter så kan du testa derivera f(x) och sedan hitta punkterna där täljaren blir noll.

Asymptoter kan även finnas då x → ±∞.

Fel, en lodrät asymptot föreligger om funktionen har en så kallad pol i aktuell punkt x = x₀. Exempelvis f(x) = 1/(x - 1) är ej definierad i punkten x = 1 och gränsvärdena i denna punkt:

lim (x → 1-) 1/(x - 1) = -∞
lim (x → 1+) 1/(x - 1) = ∞

Däremot funktionen f(x) = (x - 1)/(x - 1) är ej heller definierad i x = 1, däremot ser vi att lim (x → 1) f(x) = 1 och därmed har vi ingen asymptot där.

Om vi betraktar f(x) = (x² - 3)/(x - 2) ser vi att funktionen ej är definierad för x = 2 och en asymptot har vi eftersom den har oändliga gränsvärden från båda hållen.

Med detta i åtanke är meningen med uppgiften att finna punkter där f'(x) = 0 (lokala extrempunkter) och eventuellt punkter där derivatan inte är definierad men där funktionen i sig är (antagligen inte ett problem här).

Hur definierar man pol? Blev intresserad när jag såg det. Googlade och fann bara en aritkel om pol angående komplex analys. Det kanske är samma sak.

Tror begreppet "pol" kan direktöversättas till den reella analysen, så det bör ha samma innebörd. Annars var det bara ett klumpigt namnval, är så van vid den komplexa analysen.

Sant, mycket dåligt av mig

Tack för svaren!

Det löste sig. Testade en formel som fanns i läroboken som säger att

d/dx(f(x)/g(x))=f'(x)g(x)-f(x)g'(x) (Derivatan för kvot)

Trodde inte man kunde använda formeln för denna uppgift men lösningen såg iaf ut så här:
d/dx(((x^2)-3)/(x-2))=
((2x(x-2))-((x^2)-3))/((x-2)^2)=
((2x^2)-4x-(x^2)+3)/((x^2)-4)=
((x^2)-4x+3)/((x^2)-4)

Kvadratkomplettering av täljaren ger
((x-3)(x-1))/((x^2)-4)

Vilket säger att d/dx=0 gäller för x=3 och x=1.

Insatt i f(x) säger det att kordinaterna för extrempunkterna är (3 , 6) och (1 , 2).

Hoppas det är så man ska tänka och förhoppningsvis kan det hjälpa någon annan också.

Edit:

Formeln ska vara:

d/dx(f(x)/g(x))=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))^2