Linjär algebra - parallella plan

Jag har fyra ekvationer (två grupper) för plan och frågan är om de är parallella.

a) 4x - y + 2z = 5 och 7x - 3y + 4z = 8,
b) x - 4y - 3z -2 = 0 och 3x -12y -9z - 7 = 0.

Jag har ingen handledning för hur man löser uppgiften och det matematiska språket sviktar lite, men två parallella plan bör inte mötas. Med andra ord så borde man inte finna någon lösning till ett ekvationssystem för två parallella plan.

A har den allmänna lösningen x = 1.4 - 0.4t, y = 0.6 + 0.4t, z = t och b saknar lösning. Enligt facit så är planen i a inte parallella medan planen i b är parallella, helt enligt mitt tankesätt.

Är det så här man löser uppgiften?

Bra och så gott som korrekt tänkt. Det kan dock finnas lösningar - om planen sammanfaller.


En annan metod är att kolla om koefficientvektorerna, som är parallella med normalerna, är parallella.

Koefficientvektorerna är (4, -1, 2) resp (7, -3, 4). Men ser enkelt att dessa inte är parallella, varför planen inte är parallella.


Koefficientvektorerna är (1, -4, -3) resp (3, -12, -9), vilka är parallella (den senare är 3 gånger den förra), varför planen är parallella.

Sammanfaller... Ett homogent ekvationssystem kan ha ett oändligt antal lösningar (här har vi ju fler variabler än ekvationer). Är det det du menar?

Vet inte om jag förstår din fråga riktigt. Men om planen är parallella kan de antingen ha ett oändligt antal lösningar (planen är lika med varandra) eller sakna lösning (de skär (möter) aldrig varandra, eftersom de är parallella). Om planen inte är parallella och du har två till antalet kommer de att skära varandra i en linje....

Tror jag

Precis. Man kan se det abstrakt som ekvationssystem eller konkret som plan som sammanfaller och därmed har alla (dvs oändligt många) punkter gemensamt.