matematik B uppgift ''4c kluriga sannolikheter Holmström sida 221 uppg 6128''

snälla om någon kunde förklara för mig hur man löser uppgiften och hjälpa mig skullee jag vara jätteeee tacksam!!! =)

Hur stor är sannolikheten att vid tre kast med tre tärningar få poängsumman a)9 b)10

http://www.scb.se/Pages/List____293670.aspx

brute force: p = gynnsamma utfall / totalt antal utfall
i a)
Totalt antal utfall = 216
Gynnsamma utfall:
1 2 6
1 3 5
1 4 4
1 5 3
1 6 2
2 1 6
2 2 5
2 3 4
2 4 3
2 5 2
2 6 1
3 1 5
3 2 4
3 3 3
3 4 2
3 5 1
4 1 4
4 2 3
4 3 2
4 4 1
5 1 3
5 2 2
5 3 1
6 1 2
6 2 1
25 stycken.

25/216
Kommer inte direkt på någon bättre metod, men det borde finnas.

b)
Vi betraktar hur vi kan kombinera 1-6 på första kastet med två ytterligare kast för att få summan 10. Notera att t.ex. talen 3-5 kan bilda 8 genom att kombinera 3+5, 4+4, 5+3. Det finns alltså 5-3+1 antal fall; eller lika många fall som siffror i serien {3,4,5}.

För 1 kan vi bilda 10 med värden mellan 3-6 -> 6-3+1 fall.
För 2 kan vi bilda 10 med värden mellan 2-6 -> 6-2+1 fall.
För 3 kan vi bilda 10 med värden mellan 1-6 -> 6 fall.
För 4 kan vi bilda 10 med värden mellan 1-5 -> 5 fall.
För 5 kan vi bilda 10 med värden mellan 1-4 -> 4 fall.
För 6 kan vi bilda 10 med värden mellan 1-3 -> 3 fall.

Summering: 4+5+6+5+4+3 = 27.

Sannolikheten att bilda summan 10 från 3 tärningskast: 27/6^3 = 27/216

b) Uppgiften går att lösa med andra metoder än ren brute force. Den metoden jag använder är i detta fall overkill men den går att generalisera till att lösa mer komplicerade problem av den här typen snabbt. Det räcker med att slänga in några tärningar till i problemet och öka summan lite för att göra brute force helt omöjligt om man inte har tillgång till dator, medan metoden nedan fortfarande funkar utmärkt.

Jag använder LaTex i min lösning och hänvisar till denna tråd för den som vill kunna läsa lösningen nedan i nått slags begripligt format.

Som tidigare nämnt är det totala antalet utfall 6³ = 216, enligt multiplikationsprincipen. Sannolikheten att få summan 10 blir då antalet utfall då summan är 10 (antalet gynnsamma utfall) delat med totala antalet utfall. Det är antalet gynnsamma som är svårast att beräkna.

Antalet gynnsamma utfall är lika många som antalet lösningar till ekvationen x + y + z = 10, där x, y och z är heltal och 1 ≤ x, y, z ≤ 6. Genom variabelbytet x = x' + 1, y = y' + 1 och z = z' + 1, 0 ≤ x', y', z' ≤ 5 kan ekvationen skrivas om till enklare form;

[; x+y+z=10 \Leftrightarrow x'+1+y'+1+z'+1=10 \Leftrightarrow x'+y'+z'=7 ;]

Det går att visa att en allmän heltalsekvation på formen

[; x_1+x_2+x_3+ \cdots + x_n=r, ;]
[; x_1,x_2, \cdots x_n \ge 0 ;]

har

[; {n+r-1 \choose r} ;]

lösningar (vilket jag inte visar här, men vilket jag kan visa i annan tråd för tvivlaren...) Den som inte vet vad uttrycket med den stora parantesen betyder kan titta in binomialkoefficienter på engelska eller svenska Wikipedia.

Det totala antalet lösningar till ekvationen x' + y' + z' = 7 blir alltså utan kravet att x', y', z' ≤ 5 (n = 3, r = 7)

[; {3+7-1 \choose 7}={9 \choose 7}=\frac{9 \cdot 8 \cdot 7!}{7! \cdot (9-7)!}=\frac{72}{2}=36 ;]

Nu återstår att räkna bort de lösningar där det kravet inte är uppfyllt. Då måste minst ett av x', y', z' minst ha värdet 6. Om två eller flera av variablerna har värdet 6 eller större blir den totala summan långt över 7 vilket innebär att högst en av variablerna kan ha minst värdet 6. Låt x' vara det talet och gör variabelbytet x' = x'' + 6, y' = y'', z' = z'' där x'' ≥ 0 och 0 ≤ y'', z'' ≤ 5. Då fås en ekvivalent ekvation

[; x'+y'+z'=7 \Leftrightarrow x''+6+y''+z''=7 \Leftrightarrow x''+y''+z''=1 ;]

Denna ekvation har 3 lösningar (x'', y'' eller z'' får värdet 1 medan de andra variablerna får värdet 0). Helt analogt hade man fått 3 lösningar om y' eller z' hade haft värdet 6 eller mer. Totalt ska alltså 9 lösningar räknas bort för att få endast de lösningar som uppfyller alla krav. Sannolikheten för att summan ska bli 10 vid kast av tre tärningar fås nu alltså som

[; \frac{36-9}{216}=\frac{27}{216}=\frac{1}{8} ;]