En fråga på komplexa tal z^n = w

jag försöker lära mig att lösa ekvationer av typen z^n = w

Uppgiften lyder:
ekvationen z^3 = w har en rot z=3(cos 30 deg + i sin 30 deg)

a) bestäm w.

inser att w bör vara 27 "någonting", men jag vet inte om det är reellt eller komplext? Vill nån sprida lite ljus?

edit:titta inte här

ok, jag omformulerar mig. Vill någon sprida MYCKET ljus?

z=3e^i(30deg)
z^3=27*e^i(90deg)=27

ok, svaret ska bli 27i

och man ska inte använda euler som jag antar att du gjorde? Men tack iaf!

27i

justeja

bra om du säger i förväg vilka metoder som är tillåtna

Eftersom du har en rot, z, till ekvationen z^3 = w, med beloppet 3 och argumentet 30 grader så använder du dig av deMoivres formel eller om du vill reglerna för multiplikation av komplexa tal. Multiplicera beloppen och addera argumenten. w = z*z*z får då beloppet 27 och argumentet 90 grader. Alltså på den positiva imaginära axeln dvs w = 27i

För övrigt finns det två andra tredjerötter till w. Att de bör ligga symmetriskt kring origo, dvs med samma belopp men förskjutna 120 grader visavi varandra (alltså med argument 150 resp 270 grader) kan man förstå eller bevisa.

ex 3*150=450 450-360=90
ex 3*270=810 810-720=90