Derivatan av sin(v) med v i grader.

Jag har sett på lite olika ställen att derivatan av exempelvis sin(v) inte är cos(v) om v är uttryckt i grader och detsamma för andra trigonometriska funktioner. Se till exempel http://www.maths.lth.se/query/answers/q201105.html den 8 maj 2011 22.55.34.
Resonemanget är:

Jag förstår inte riktigt invändningen. Är det inte mer naturligt att tolka "derivatan av sin x°" som (d/dx°) sin x° = cos x° ? Radianer har ju en rad andra fördelar men så länge man är konsistent fungerar ju deriveringen på samma sätt?

Varför skulle det vara mer naturligt när det är falskt?
Men det gör den ju inte? Om man inte använder radianer gäller inte standardgränsvärdet sin(x)/x -> 1 när x-> 0 och då blir derivatan av sin(x) inte cos(x).

Inte? Om jag inte har fel så gäller att sin(ax)/(ax) -> 1 när x-> 0 även för a = 180/pi.

Om x är i radianer ja... Om du kollar på enhetscirkeln så ser du att om v är en liten vinkel så är sin(v) ungefär lika med båglängden längs med cirkeln från x-axeln till vinkeln v. I radianer är den båglängden per definition v. I grader är den båglängden pi/180 v. Detta är en överskattning av sin(x) och med en underskattning kan man använda instängningssatsen för att få fram lim v->0 sin(v)/v.

Jag bidrar med en ordbaserad förklaring. En liten förändring - dx - i x-led ger mindre vinkelförändring då x ges i grader motför då x ges i radianer. Om dx = 1 till exempel så motsvarar det i radianer ca 1/6 varv medan det motsvarar 1/360 varv i grader.

Så om vi låter v = ax med a = 180/pi så gäller att sin(ax)/(ax) = sin(v)/v -> 0 när v -> 0, Menar du att det inte gäller att sin(bv)/(bv) -> 0 när v -> 0 ? Då måste det ju gälla att sin(abx)/(abx) -|-> 0 då x -> 0, vilket är falskt.


Det är definitivt en fördel att använda radianer när man för resonemang om bland annat båglängder ja. Men motsäger det att d/dv sin(v) = cos(v), oavsett vilket mått man väljer att mäta v i?


Jag förstår inte riktigt poängen, kan du utveckla? Som sagt ska man ju vara konsistent i vilket mått man använder.

Fast det är ju inte samma sak. Sen är de där gränsvärdena lika med 1, inte 0. Ta en titt på beviset för lim v->0 sin(v)/v = 1. Vi kan ta det i ett godtyckligt vinkelmått där båglängden är proportionerlig mot vinkeln med konstanten k. Man börjar med

sin(v) < kv

det vill säga sin(v) är mindre än båglängden fram till vinkeln v, vilket man inser enkelt om man ritar en figur. Man kan också se att tan(v) måste vara större än båglängden, så

sin(v) < kv < tan(v)
=> 1 < kv/sin(v) < tan(v)/sin(v)
=> 1 < kv/sin(v) < 1/cos(v)
=> cos(v) > sin(v)/kv > 1

så om vi tar gränsen v -> 0 måste sin(v)/kv gå mot 1, dvs sin(v)/v går mot k. För radianer är k = 1, för grader är k = pi/180.

Det vill säga när man härleder beräknar gränsvärdet lim v->0 sin(v)/v = 1.
Ja? Eftersom gränsvärdet ovan är avhängigt vilket vinkelmått man använder så kan inte d/dv sin(v) = cos(v) gälla för alla vinkelmått. Kika på beviset.

Om vi tittar på hur detta resultat används i beviset för d/dv sin(v) = cos(v)

d/dv sin(v) = lim h ->0 ( sin(v+h) - sin(v) ) / h
= lim h->0 ( sin(v)cos(h) + sin(h)cos(v) - sin(v) ) / h
= lim h -> 0 sin(v)(cos(h)-1) / h + cos(v)sin(h)/h
= 0 + lim h-> 0 cos(v)sin(h)/h = cos(v)

lim h-> 0 sin(h)/h = 1 oavsett vilket mått man använder, vilket är uppenbart av en serieutveckling:

sin(ax) = ax - a^3x^3/6 + ...

sin(ax)/(ax) = 1 - a^2x^2/6 + ... -> 1 då x -> 0.

Om det är sant för radianer är det alltså sant för alla vinkelmått.
Ditt resonemang utgår från att man alltid tar derivatan map båglängden x när man deriverar. Om vi gör så i beviset ovan med k = pi/180 och båglängden x = kv och en liten ändring h i v med motsvarande ändring kh i x:

d/dx sin(v) = lim h ->0 ( sin(v+h) - sin(v) ) / kh ,
= lim h->0 ( sin(v)cos(h) + sin(h)cos(v) - sin(v) ) / kh
= lim h -> 0 sin(v)(cos(h)-1) / kh + cos(v)sin(h)/kh
= 0 + lim h-> 0 cos(v)sin(h)/kh
= cos(v)/k

Vilket är vad man förväntar sig av kedjeregeln. Min poäng är: varför skulle någon någonsin ta derivatan map på båglängden när man deriverar en trigonometrisk funktion när vinkeln mäts i grader?

Nej jag visade att det inte är så ovan.
Cirkelresonemang.

Ja det har du rätt i att det är ett cirkelresonemang. Är det fel då? Annars så har vi att 1 = pi/180, en motsägelse. Wolfram Alpha håller med mig: http://www.wolframalpha.com/input/?i...x%29+as+x-%3E0

Om vi tar beviset för att sin(x)/x -> 1 när x-> 0 då x mäts i radianer, så följer att d/dx sin(x) = cos(x) när x mäts i radianer. Då kan vi använda detta resultat tillsammans med kedjeregeln för att få d/dx sin(ax) = acos(x) etc och serieutvecklingen följer utan att vi gör ett cirkelresonemang. Alltså

sin(ax) = ax - a^3x^3/6 + ...

sin(ax)/ax = 1 - a^2x^2/6 + O(x^4) -> 1 då x-> 0

Det är i alla fall logiskt ogiltigt och du har inte motbevisat att lim v->0 sin(v)/v beror på vinkelmåttet. Om din serieutveckling gällde skulle sin(v) ~ v för små v oavsett vinkelmått, vilket är absurt eftersom sin(v) ~ båglängden fram till v för små v. Det är också absurt om man tittar på graferna för sinus i radianer och grader. Den senare har mycket längre period och lutar uppenbarligen mindre i origo. Varför skulle de då ha samma derivata, än mindre samma serieutveckling? Det är ju inte samma funktion och serieutvecklingen är entydig (inom konvergensradien i alla fall).

Jag tror jag ser var vi är oense. När vi skriver sin(v) med v i grader så är det en annan funktion än när vi skriver sin(v) med v i radianer. Låt oss kalla sin(v°) för sind(v°) och låter sin(v) vara för v i radianer. Då ser vi att sind(v°) = sin(v°*pi/180) = sin(kv°), och att sin(v°) = sind(v°/k).
Jag är ledsen att jag inte varit klar med distinktionen innan men vad jag menar är att alltså att d/dv° sind(v°) = cosd(v°) (och att lim v° -> 0 sin(v°) / v° = 1) :

d/dv° sind(v°) = lim h->0 ( sind(v°+h) - sind(v°) ) / h

= d/d(v°) sin(k v°) = lim h ->0 ( sin(kv°+kh) - sin(kv°) ) / kh

= lim h->0 ( sin(kv°)cos(kh) + sin(kh)cos(kv°) - sin(kv°) ) / kh

= lim h -> 0 sin(kv°)(cos(kh)-1) / h + cos(kv°)sin(kh)/kh

= 0 + lim h-> 0 cos(kv°)sin(kh)/kh = { byt kh -> x, x är i radianer}

= lim x-> 0 cos(kv°)sin(x)/x = cos(kv°) = cosd(v°)