Stock som välter

Hej

Tänk er en stock som står rakt upp i luften. Om den börjar välta, hur räknar man då ut hastigheten på punkten längst upp på stocken, precis när den slår i marken? Vilken acceleration kommer den att få? Vi antar att stocken är 4 meter hög, och vi försummar allt luftmotstånd, friktion vid marken, etc.

Om stocken är mycket längre än den är tjock, homogen och sitter fast i ena änden är dess tröghetsmoment I runt den änden ML^2/6 där M är massan och L längden. Den har ursprungligen lägesenergin MgL/2 eftersom masscentrum är halvvägs upp för stocken. Energibevarande ger då

Iw^2/2 = ML^2/6 *w^2 = MgL/2

där w är vinkelhastigheten vid marken. Hastigheten längst ut är wL och vi kan lösa ut det då

M(Lw)^2/6 = MgL/2

det vill säga Lw = sqrt(3gL).

Tröghetsmomentet för en homogen tunn stång är väl dock ML^2/3?


För accelerationen har vi
M=Ia, där a är vinkelaccelerationen.
Vridmomentet M är i bottenläget mg*L/2
mg*L/2 = a*m(L^2)/3
a=3g/(2L)

Accelerationen i punkten längst ut är a*L, dvs 3g/2=1.5g. Högre än i fritt fall!

Ja så är det. Blandade nog ihop det med något annat, brukar inte memorera tröghetsmomenten, de är ändå så enkla att räkna fram. Då blir farten längst ut sqrt(3gL/2).