Stokes' Sats, flervariabelanalys.

Frågan lyder:
Låt r vara en kurva på cylinderytan x^2+y^2 = 1. r är sluten men skär i övrigt inte sig själv.

F = (x+y,2yz,y^2)

Visa att kurvintegralen över r med F (skalärt) dr som integrand bara kan anta 3 olika värden beroende på hur r löper längs cylinderytan.

Började med att använd stokes sats. Så får jag nabla x F = (0,0,-1)
Så får man integranden (0,0,-1)*(0,0,+-1)dxdy Beroende på vilken riktning den rör sig. Rör den sig moturs (sedd uppifrån) så blir den -pi, medsols -> pi.
Men hur inser man vilket det sista värdet måste vara. Är det om den inte går runt z-axeln så har den ingen area i xy-planet och blir därför 0?

Det är ett svar som skulle kunna fungera.

Finns det en bättre förklaring/motivering?