Variabelbyte i trippelintegral

Jag har en integral som jag ska räkna ut över området som definieras av olikheterna

x^2 + y^2 ≤ 3z^2
x^2 + y^2 + z^2 ≤ 4
0 ≤ x
0 ≤ y
z ≤ 0

Rymdpolära koordinater känns ju givet men hur får jag fram gränserna för r, theta och phi? Står helt stilla

Jag föredrar oftast polära koordinater. Då slipper man oftast all jobbig trigonometri. Så om inte integranden blir allt för jobbig i polära så får jag den till
pi < phi < 3pi/2
r/sqrt(3) < z < sqrt(4-r^2)
0<r<sqrt(3)

Kan man få integranden och svaret så kan jag testa räkna ut den? =)

Uppgift 5 här!

http://www.mai.liu.se/TM/kurser/TATA...090605-ULV.pdf

x^2 + y^2 ≤ 3z^2 är en kon vars radie r uppfyller r^2 = x^2+y^2 = 3z^2 där z är dess höjd, eller r = sqrt(3)z. Då har vi att tan v = z/r = sqrt(3) där v är vinkeln i konens topp, det vill säga v = pi/3. Då vi har att z <= 0 måste theta gå mellan 2pi/3 och pi. 0<x, 0<y betyder första kvadranten, alltså att 0< phi < pi/2. x^2 + y^2 + z^2 ≤ 4 är en sfär med radien 2, så r går från 0 till 2.

Jag är nu helt med på hur man får fram vinklarna, men är inte på det klara med radien. Varför är det just klotet som bestämmer radien? Varför skulle inte lika gärna konen göra det?

Testa rita upp det så är det ganska tydligt varför. Om vi hade haft, låt oss säga sfären x^2+y^2+z^2=4 och konen z=sqrt(x^2+y^2), så får du ju en kon med en liten hatt, som en kippa.

..Vet inte hur jag ska förklara riktigt Men försökt rita upp dem så kommer du förstå.

edit:
Och konens sidor kommer ju ligga parallellt med radien till sfären.
Du kan illustrera detta rätt enkelt i R^2. Rita linjen y=|x|, sen enhetscirkeln.
Då ser du att du tar radien projicerad på "tvådimensionella" konen och sen är det bara dra den, i detta tvådimensionella fall från pi/4 till 3pi/4 åt andra hållet om du så vill.

Just det, konen sträcker sig ju oändligt långt. Tänkte att den var begränsad precis som klotet, men det är ju galet. Då är det därför såklart, tack.