Derivata på arcsin(sinx)?

Sitter mer följande uppgift:

Hitta derivatan på: arcsin(sinx)

Löser det såhär, med hjälp av "chain rule":

f '(x) = (cosx) / (sqrt(1 - x^2))

Eftersom derivatan på sinx är cosx och derivatan på arcsin(x) 1/ (sqrt(1 - x^2)).



I facit står det dock kort och gott:

sgn(cos(x))


Har jag gjort fel, är det fel i facit, eller är det helt enkelt två sätt att säga samma sak?

Använd WolframAlpha till sånt här, den är riktigt bra. http://www.wolframalpha.com/input/?i...csin%28sinx%29
Tryck "show steps" så får du förklaring.

f '(x) = (cosx) / (sqrt(1 - x^2)) ska vara
f '(x) = (cosx) / (sqrt(1 - sin(x)^2)) = cos(x) / √(cos(x)^2) Så får kvadratroten olika tecken beroende av värdet på cos(x) därav sgn(cos(x)) i svaret.

Har du f(x) = g( h(x) ) så blir
f'(x) = g'( h(x) ) * h'(x)

Oj! Ser att jag skrev av fel från mitt block; självklart ska det vara: f '(x) = (cosx) / (sqrt(1 - sin(x)^2))

Hmm, det låter ju vettigt, skall fundera över saken så kanske jag förstår det helt och hållet
Men det betyder väl inte att min lösning egentligen är fel, bara att den andra är snyggare?

Ja, din lösning är korrekt.

Gäller att hålla ordning på variablerna här!

Skriv: y = f(u) = arcsin(u), u(x) = sin x.

f '(u) = 1/sqrt(1-u²), u '(x) = cosx, så

y '(x) = f '(u(x)) * u'(x) = ( 1/sqrt(1-u²(x)) ) * cosx =
( 1/sqrt(1- sin²x) ) *cosx = (1/|cosx| ) * cosx,

dvs y'(x) = sgn(cosx).